哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 上定义内积：
$\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x+1, f_{3}(x)=x-1$ ，求 $\displaystyle L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right)=\left\{k_{1} f_{1}(x)+k_{2} f_{2}(x)+k_{3} f_{3}(x) \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{R}\right\}$ 的标准正交基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析向量组的线性相关性
给定 $f_1(x)=x$, $f_2(x)=x+1$, $f_3(x)=x-1$。注意到 $f_2(x)-f_3(x)=2$，因此常数函数可由 $f_2$ 和 $f_3$ 线性表示。同时，$f_1(x)=x$ 与常数函数线性无关。所以 $\operatorname{span}\{f_1,f_2,f_3\} = \operatorname{span}\{1, x\}$，即所有次数不超过1的多项式构成的空间 $W$。
提示：注意检查向量组是否线性相关，避免重复计算。
步骤 2/6
目标：确定需要正交化的基
取 $W$ 的一组基：$v_1 = 1$, $v_2 = x$。接下来使用Gram-Schmidt正交化过程得到标准正交基。
提示：选择简单的基向量可以简化计算。
步骤 3/6
目标：计算第一个标准正交基向量
计算内积 $(1,1) = \int_{-1}^1 1 \cdot 1 \, dx = 2$，所以 $\|1\| = \sqrt{2}$。第一个标准正交基向量为 $e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
公式：$\|v\| = \sqrt{(v,v)}$
提示：注意内积的定义是积分，不要忘记积分上下限。
步骤 4/6
目标：计算第二个基向量在第一个上的投影
计算 $(x,1) = \int_{-1}^1 x \cdot 1 \, dx = 0$，所以投影 $\operatorname{proj}_1(x) = \frac{(x,1)}{(1,1)} \cdot 1 = 0$。因此 $x$ 与 $1$ 正交。
公式：$\operatorname{proj}_u(v) = \frac{(v,u)}{(u,u)} u$
提示：奇函数在对称区间上的积分为0，可快速判断。
步骤 5/6
目标：计算第二个标准正交基向量
计算 $(x,x) = \int_{-1}^1 x^2 \, dx = \frac{2}{3}$，所以 $\|x\| = \sqrt{\frac{2}{3}}$。第二个标准正交基向量为 $e_2 = \frac{x}{\sqrt{2/3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \, x$。
提示：注意标准化时除以范数，而不是直接使用内积。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
因此，$L(f_1,f_2,f_3)$ 的一组标准正交基为 $\left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}} \, x \right\}$。
提示：标准正交基的向量应相互正交且长度为1。
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