哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
十、（10 分）$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶对称矩阵，求证：存在同一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时化为对角阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用A的正定性进行合同变换
由于$A$是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，存在可逆矩阵$Q$使得$Q^T A Q = E$，其中$E$是$n$阶单位矩阵。这一步将$A$化为单位矩阵，为后续同时对角化做准备。
公式：$Q^T A Q = E$
提示：注意$Q$是可逆矩阵，但不一定是正交矩阵；$A$的正定性保证了这样的$Q$存在，但$Q$不唯一。
步骤 2/7
目标：定义新矩阵C
令$C = Q^T B Q$。由于$B$是对称矩阵，即$B^T = B$，且$Q$可逆，则$C$也是对称矩阵，因为$C^T = (Q^T B Q)^T = Q^T B^T Q = Q^T B Q = C$。
公式：$C = Q^T B Q$
提示：对称性在合同变换下保持不变，但注意这里$Q$不是正交矩阵，所以$C$不一定与$B$相似，只是合同。
步骤 3/7
目标：对C进行正交对角化
因为$C$是实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，存在正交矩阵$R$（即$R^T R = E$）使得$R^T C R = \Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，其对角线元素为$C$的特征值。
公式：$R^T C R = \Lambda$
提示：正交矩阵$R$满足$R^{-1} = R^T$，因此$R^T C R$既是合同变换也是相似变换，对角化后的$\Lambda$与$C$相似。
步骤 4/7
目标：构造可逆矩阵P
取$P = QR$。由于$Q$和$R$均可逆，$P$也可逆。
公式：$P = QR$
提示：注意矩阵乘法的顺序：先$Q$后$R$，因为$Q$将$A$化为$E$，$R$进一步将$C$对角化。
步骤 5/7
目标：验证P^T A P为单位矩阵
计算$P^T A P = (QR)^T A (QR) = R^T (Q^T A Q) R = R^T E R = R^T R = E$。因为$R$是正交矩阵，$R^T R = E$。
公式：$P^T A P = E$
提示：这里利用了$Q^T A Q = E$和$R$的正交性，注意$R^T E R = R^T R$。
步骤 6/7
目标：验证P^T B P为对角矩阵
计算$P^T B P = (QR)^T B (QR) = R^T (Q^T B Q) R = R^T C R = \Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵。
公式：$P^T B P = \Lambda$
提示：这里$C = Q^T B Q$，而$R^T C R = \Lambda$正是对角化过程。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，存在同一个可逆矩阵$P$使得$P^T A P = E$（单位矩阵）和$P^T B P = \Lambda$（对角矩阵）同时成立，即$P^T A P$和$P^T B P$同时化为对角阵。
提示：注意$A$被化为单位矩阵，$B$被化为对角矩阵，但$A$的对角化结果不一定是单位矩阵，只要是对角阵即可。
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