哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题

方程组的增广矩阵为： \[ \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 & 3 \\ 1 & 3b & 1 & 9 \end{pmatrix} \] 为了方便消元，交换第1行与第2行： \[ \begin{pmatrix} 1 & b & 1 & 3 \\ a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3b & 1 & 9 \end{pmatrix} \]

第2行减去第1行的a倍，第3行减去第1行： \[ \begin{pmatrix} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & 1-ab & 1-a & 1-3a \\ 0 & 2b & 0 & 6 \end{pmatrix} \] 第3行除以2（假设b≠0，先保留）： \[ \begin{pmatrix} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & 1-ab & 1-a & 1-3a \\ 0 & b & 0 & 3 \end{pmatrix} \] 交换第2行与第3行： \[ \begin{pmatrix} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & b & 0 & 3 \\ 0 & 1-ab & 1-a & 1-3a \end{pmatrix} \]

当b=0时，增广矩阵变为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1-a & 1-3a \end{pmatrix} \] 第2行对应方程0=3，矛盾，所以方程组无解。

当b≠0时，第2行除以b： \[ \begin{pmatrix} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3/b \\ 0 & 1-ab & 1-a & 1-3a \end{pmatrix} \] 第3行减去第2行的(1-ab)倍： \[ \begin{pmatrix} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3/b \\ 0 & 0 & 1-a & 1-3a - \frac{3(1-ab)}{b} \end{pmatrix} \] 化简第3行最后一个元素： \[ 1-3a - \frac{3(1-ab)}{b} = 1-3a - \frac{3}{b} + 3a = 1 - \frac{3}{b} \] 因此矩阵化为： \[ \begin{pmatrix} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3/b \\ 0 & 0 & 1-a & 1 - \frac{3}{b} \end{pmatrix} \]

由化简后的矩阵： - 当1-a ≠ 0，即a≠1时，系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩也为3，方程组有唯一解。 - 当a=1时，第3行变为0 = 1 - 3/b。 - 若1 - 3/b ≠ 0，即b≠3时，方程0=非零数，无解。 - 若1 - 3/b = 0，即b=3时，第3行全为零，秩为2，方程组有无穷多解。 综合b=0的情况： - b=0时，无解。 - b≠0且a≠1时，有唯一解。 - b≠0且a=1，b≠3时，无解。 - b≠0且a=1，b=3时，有无穷多解。

当a=1，b=3时，增广矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 回代：由第2行得x2=1；由第1行得x1+3x2+x3=3，即x1+3+x3=3，所以x1+x3=0，即x1=-x3。令x3=t（自由变量），则通解为： \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -t \\ 1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} \]