哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别多项式与分圆多项式的关系
考虑多项式 $f(x) = x^6 + x^3 + 1$。注意到 $x^9 - 1 = (x^3)^3 - 1 = (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)$，因此 $f(x) = \frac{x^9 - 1}{x^3 - 1}$。
公式：$x^9 - 1 = (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)$
提示：注意因式分解的正确性，避免符号错误。
步骤 2/4
目标：将多项式表示为分圆多项式形式
分圆多项式 $\Phi_9(x)$ 定义为 $\Phi_9(x) = \frac{x^9 - 1}{\Phi_1(x)\Phi_3(x)}$，其中 $\Phi_1(x) = x - 1$，$\Phi_3(x) = x^2 + x + 1$。计算分母：$(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1$。因此 $\Phi_9(x) = \frac{x^9 - 1}{x^3 - 1} = x^6 + x^3 + 1$。所以 $f(x) = \Phi_9(x)$。
公式：$\Phi_9(x) = \frac{x^9 - 1}{x^3 - 1}$
提示：分圆多项式的定义中分母是 $\prod_{d|n, d
步骤 3/4
目标：引用分圆多项式不可约定理
已知定理：分圆多项式 $\Phi_n(x)$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上不可约。这是数论和多项式理论中的经典结论。
提示：该定理的证明通常使用艾森斯坦判别法或反证法，但此处可直接引用。
步骤 4/4
目标：应用定理得出结论
由于 $f(x) = \Phi_9(x)$ 是分圆多项式，根据上述定理，$f(x)$ 在有理数域上不可约。
提示：确保 $n=9$ 时 $\Phi_9(x)$ 确实是分圆多项式，且不可约性成立。
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