哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题

由 $A^{-1}BA = 2A + BA$，两边左乘 $A$ 得 $BA = 2A^2 + ABA$，移项得 $BA - ABA = 2A^2$，即 $B(A - A^2) = 2A^2$。另一种变形：将原方程写为 $A^{-1}BA - BA = 2A$，即 $(A^{-1} - I)BA = 2A$，两边右乘 $A^{-1}$ 得 $(A^{-1} - I)B = 2I$，所以 $B = 2(A^{-1} - I)^{-1}$。

设 $A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix}$，由 $AA^{-1}=I$ 得： $\begin{pmatrix} 2a & 2b+d & 2c+e+f \\ 0 & 2d & 2e+f \\ 0 & 0 & 2f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 解得 $a=\frac12$, $d=\frac12$, $f=\frac12$；由 $2b+d=0$ 得 $b=-\frac14$；由 $2e+f=0$ 得 $e=-\frac14$；由 $2c+e+f=0$ 得 $c = -\frac12(e+f) = -\frac12(-\frac14+\frac12) = -\frac18$。 所以 $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac14 & -\frac18 \\ 0 & \frac12 & -\frac14 \\ 0 & 0 & \frac12 \end{pmatrix}$。

$A^{-1} - I = \begin{pmatrix} \frac12-1 & -\frac14 & -\frac18 \\ 0 & \frac12-1 & -\frac14 \\ 0 & 0 & \frac12-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac14 & -\frac18 \\ 0 & -\frac12 & -\frac14 \\ 0 & 0 & -\frac12 \end{pmatrix} = -\frac12 \begin{pmatrix} 1 & \frac12 & \frac14 \\ 0 & 1 & \frac12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

先求 $M = \begin{pmatrix} 1 & \frac12 & \frac14 \\ 0 & 1 & \frac12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的逆。 对于形如 $\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的矩阵，其逆为 $\begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 这里 $a=\frac12$, $b=\frac14$, $c=\frac12$，则 $ac-b = \frac12\cdot\frac12 - \frac14 = 0$。 所以 $M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac12 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 因此 $(A^{-1}-I)^{-1} = (-\frac12 M)^{-1} = -2 M^{-1} = -2 \begin{pmatrix} 1 & -\frac12 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。

由 $B = 2(A^{-1}-I)^{-1}$，代入得： $B = 2 \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$。