哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
4．（15 分）已知方程组 $A X=b$ 的一个特解为 $\alpha^{*}, A X=0$ 的基础解系为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ ．
（1）写出 $A X=b$ 的三个线性无关的解 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ ；
（2）证明 $A X=b$ 的任意四个解线性相关；
（3）证明 $\gamma$ 为 $A X=b$ 的解的充要条件是：存在常数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，使得 $\gamma=k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+k_{3} \beta_{3}$ ，其中，$k_{1}+k_{2}+k_{3}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造三个线性无关的解
已知 $A X = b$ 的一个特解为 $\alpha^*$，$A X = 0$ 的基础解系为 $\alpha_1, \alpha_2$。则 $A X = b$ 的通解为 $X = \alpha^* + c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2$，其中 $c_1, c_2$ 为任意常数。取 $\beta_1 = \alpha^*$（$c_1=0, c_2=0$），$\beta_2 = \alpha^* + \alpha_1$（$c_1=1, c_2=0$），$\beta_3 = \alpha^* + \alpha_2$（$c_1=0, c_2=1$）。
公式：通解：$X = \alpha^* + c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2$
提示：注意特解和基础解系是已知的，构造时选择不同的参数确保线性无关。
步骤 2/5
目标：证明构造的解线性无关
设 $k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3 = 0$，代入得 $(k_1 + k_2 + k_3) \alpha^* + k_2 \alpha_1 + k_3 \alpha_2 = 0$。由于 $\alpha^*, \alpha_1, \alpha_2$ 线性无关（$\alpha^*$ 不是齐次解，$\alpha_1, \alpha_2$ 是基础解系），所以系数全为零：$k_1 + k_2 + k_3 = 0$，$k_2 = 0$，$k_3 = 0$，解得 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$，故 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。
公式：线性无关定义：$k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3 = 0 \Rightarrow k_1=k_2=k_3=0$
提示：注意 $\alpha^*$ 与 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，因为 $\alpha^*$ 不是齐次解。
步骤 3/5
目标：证明任意四个解线性相关
设 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$ 是 $A X = b$ 的任意四个解。则 $\gamma_i - \gamma_4$（$i=1,2,3$）是齐次方程的解。齐次解空间维数为2，故 $\gamma_1-\gamma_4, \gamma_2-\gamma_4, \gamma_3-\gamma_4$ 线性相关。存在不全为零的 $c_1, c_2, c_3$ 使得 $c_1(\gamma_1-\gamma_4) + c_2(\gamma_2-\gamma_4) + c_3(\gamma_3-\gamma_4) = 0$，整理得 $c_1 \gamma_1 + c_2 \gamma_2 + c_3 \gamma_3 - (c_1+c_2+c_3)\gamma_4 = 0$，系数不全为零，故 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$ 线性相关。
公式：齐次解空间维数 = 基础解系向量个数 = 2
提示：注意差向量是齐次解，且齐次解空间维数为2，所以3个差向量必相关。
步骤 4/5
目标：证明充要条件的必要性
若 $\gamma$ 是 $A X = b$ 的解，则 $\gamma = \alpha^* + c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2$。令 $k_1 = 1 - c_1 - c_2$，$k_2 = c_1$，$k_3 = c_2$，则 $k_1 + k_2 + k_3 = 1$，且 $k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3 = (1-c_1-c_2)\alpha^* + c_1(\alpha^*+\alpha_1) + c_2(\alpha^*+\alpha_2) = \alpha^* + c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 = \gamma$。
公式：通解形式：$\gamma = \alpha^* + c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2$
提示：注意 $k_1$ 的构造要使得系数和为1。
步骤 5/5
目标：证明充要条件的充分性
若存在 $k_1, k_2, k_3$ 满足 $k_1 + k_2 + k_3 = 1$ 使得 $\gamma = k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3$，则 $A \gamma = k_1 A \beta_1 + k_2 A \beta_2 + k_3 A \beta_3 = (k_1 + k_2 + k_3) b = b$，故 $\gamma$ 是 $A X = b$ 的解。
公式：$A \beta_i = b$ 对 $i=1,2,3$
提示：注意 $\beta_i$ 都是非齐次解，所以 $A \beta_i = b$。
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