哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
5．（15 分）已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$E$ 为 $n$ 单位矩阵，证明：$A+A^{-1}-E$ 为正定矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正定矩阵的性质
设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，则 $A$ 的特征值均为正数，且 $A$ 可逆，$A^{-1}$ 的特征值为 $A$ 特征值的倒数，也为正数。
提示：注意正定矩阵的特征值全大于0，且可逆。
步骤 2/6
目标：考虑二次型
对于任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，考虑二次型 $x^T(A + A^{-1} - E)x$。
提示：二次型是判断矩阵正定性的常用方法。
步骤 3/6
目标：正交对角化
由于 $A$ 正定，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$。则 $Q^T A^{-1} Q = \Lambda^{-1} = \operatorname{diag}(1/\lambda_1, \dots, 1/\lambda_n)$。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$, $Q^T A^{-1} Q = \Lambda^{-1}$
提示：正交对角化要求矩阵对称，正定矩阵是对称的。
步骤 4/6
目标：变量替换
令 $y = Q^T x$，则 $y \neq 0$，且
\[ x^T(A + A^{-1} - E)x = y^T(\Lambda + \Lambda^{-1} - E)y = \sum_{i=1}^n \left(\lambda_i + \frac{1}{\lambda_i} - 1\right) y_i^2. \]
公式：$x^T M x = y^T Q^T M Q y$
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，所以 $y$ 非零当且仅当 $x$ 非零。
步骤 5/6
目标：应用均值不等式
由于 $\lambda_i > 0$，由均值不等式，$\lambda_i + \frac{1}{\lambda_i} \geq 2$，等号当且仅当 $\lambda_i = 1$ 时成立。因此 $\lambda_i + \frac{1}{\lambda_i} - 1 \geq 1 > 0$。
公式：$\lambda_i + \frac{1}{\lambda_i} \geq 2$
提示：均值不等式要求 $\lambda_i > 0$，等号成立条件为 $\lambda_i = 1$。
步骤 6/6
目标：判断正定性
故
\[ x^T(A + A^{-1} - E)x = \sum_{i=1}^n \left(\lambda_i + \frac{1}{\lambda_i} - 1\right) y_i^2 > 0, \]
因为 $y \neq 0$ 时至少有一个 $y_i \neq 0$，且系数为正。所以 $A + A^{-1} - E$ 是正定矩阵。
提示：注意所有系数都大于0，且 $y$ 非零，因此二次型大于0。
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