哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
6．（15 分）已知 $\alpha_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right), \alpha_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}\right), \cdots, \alpha_{r}=\left(a_{r 1}, a_{r 2}, \cdots, a_{r n}\right)$ 线
性无关，其中，$r<n$ ，且 $\beta^{T}$ 为方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0\end{array}\right.$ 的一个非零解，证明 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定线性组合为零
设存在常数 $k_1, k_2, \ldots, k_r, k_{r+1}$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_r \alpha_r + k_{r+1} \beta = 0$。
提示：注意线性组合的系数个数为 $r+1$，与向量个数一致。
步骤 2/6
目标：利用解的性质右乘 $\beta^T$
由于 $\beta^T$ 是方程组的解，即对每个 $i=1,\ldots,r$，有 $\alpha_i \beta^T = 0$。将上式两边右乘 $\beta^T$，得 $k_1 \alpha_1 \beta^T + k_2 \alpha_2 \beta^T + \cdots + k_r \alpha_r \beta^T + k_{r+1} \beta \beta^T = 0$。
公式：$\alpha_i \beta^T = 0$
提示：右乘 $\beta^T$ 时，注意 $\alpha_i$ 是行向量，$\beta^T$ 是列向量，乘积是标量。
步骤 3/6
目标：化简得到 $k_{r+1}=0$
因为 $\alpha_i \beta^T = 0$，所以前 $r$ 项均为零，剩下 $k_{r+1} \beta \beta^T = 0$。由于 $\beta$ 是非零向量，$\beta \beta^T = \|\beta\|^2 > 0$，故 $k_{r+1}=0$。
公式：$\beta \beta^T = \|\beta\|^2$
提示：注意 $\beta$ 是非零向量，其模长平方大于零，因此系数必为零。
步骤 4/6
目标：代入原式得到仅含 $\alpha_i$ 的线性组合
将 $k_{r+1}=0$ 代入原式，得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_r \alpha_r = 0$。
提示：这一步消去了 $\beta$ 项，得到关于 $\alpha_i$ 的线性组合。
步骤 5/6
目标：利用 $\alpha_i$ 的线性无关性
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关，所以 $k_1 = k_2 = \cdots = k_r = 0$。
提示：线性无关的定义：若线性组合为零则所有系数必为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，所有系数 $k_1, k_2, \ldots, k_r, k_{r+1}$ 均为零，故 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, \beta$ 线性无关。
提示：注意结论是向量组线性无关。
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