哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
7．（15 分）已知 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 为 $V$ 的子空间，判断下列说法是否正确，若正确给出证明，若错误给出反例．
（1）$\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}=\left(V_{1} \cap V_{3}\right)+\left(V_{2} \cap V_{3}\right)$ ；
（2）若 $V_{1}+V_{2}, V_{1}+V_{3}, V_{2}+V_{3}$ 均为直和，则 $V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 也为直和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析（1）的等式是否成立
考虑等式 $(V_1+V_2) \cap V_3 = (V_1 \cap V_3) + (V_2 \cap V_3)$。直觉上，左边包含所有可以表示为 $v_1+v_2$ 且属于 $V_3$ 的向量，右边是分别属于 $V_1 \cap V_3$ 和 $V_2 \cap V_3$ 的向量之和。由于 $V_1 \cap V_3$ 和 $V_2 \cap V_3$ 可能很小，右边可能比左边小，因此等式不一定成立。
提示：注意子空间交与和的定义，以及等式两边集合的包含关系。
步骤 2/6
目标：构造（1）的反例
在二维线性空间 $\mathbb{R}^2$ 中，取 $V_1 = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\}$，$V_2 = \{(0,y) \mid y \in \mathbb{R}\}$，$V_3 = \{(t,t) \mid t \in \mathbb{R}\}$。则 $V_1+V_2 = \mathbb{R}^2$，所以 $(V_1+V_2) \cap V_3 = V_3$。而 $V_1 \cap V_3 = \{0\}$，$V_2 \cap V_3 = \{0\}$，因此 $(V_1 \cap V_3)+(V_2 \cap V_3)=\{0\}$。由于 $V_3 \neq \{0\}$，等式不成立。
提示：反例中 $V_3$ 是直线 $y=x$，与坐标轴的交只有原点。
步骤 3/6
目标：结论（1）
因此（1）错误。
步骤 4/6
目标：分析（2）的条件
条件：$V_1+V_2$、$V_1+V_3$、$V_2+V_3$ 均为直和。直和意味着每对子空间的交为 $\{0\}$，即 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，$V_1 \cap V_3 = \{0\}$，$V_2 \cap V_3 = \{0\}$。但 $V_1+V_2+V_3$ 是直和还需要 $V_1 \cap (V_2+V_3) = \{0\}$ 等条件，这不一定成立。
公式：直和条件：$V_i \cap V_j = \{0\}$ 对于 $i \neq j$，但三个子空间的和为直和还需 $V_i \cap (\sum_{j \neq i} V_j) = \{0\}$。
提示：注意两两交为零不能推出三个子空间的和是直和。
步骤 5/6
目标：构造（2）的反例
在二维线性空间 $\mathbb{R}^2$ 中，取 $V_1 = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\}$，$V_2 = \{(0,y) \mid y \in \mathbb{R}\}$，$V_3 = \{(t,t) \mid t \in \mathbb{R}\}$。则 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，$V_1 \cap V_3 = \{0\}$，$V_2 \cap V_3 = \{0\}$，所以 $V_1+V_2$、$V_1+V_3$、$V_2+V_3$ 均为直和。但 $V_1+V_2+V_3 = \mathbb{R}^2$，而 $V_1 \cap (V_2+V_3) = V_1 \cap \mathbb{R}^2 = V_1 \neq \{0\}$，因此 $V_1+V_2+V_3$ 不是直和。
提示：注意 $V_2+V_3 = \mathbb{R}^2$，因为 $V_2$ 和 $V_3$ 生成整个平面。
步骤 6/6
目标：结论（2）
因此（2）错误。
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