哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
8．（15）若三阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A(1,1,1)^{T}=(4,4,4)^{T}$ 且存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^{T} A P=P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & k\end{array}\right)$ ．
（1）求 $k$ 出的值；
（2）求出使上述成立的矩阵 $P$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定特征值
已知存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = \operatorname{diag}(1,1,k)$，因此 $A$ 的特征值为 $1$（二重）和 $k$。又由 $A(1,1,1)^T = (4,4,4)^T$ 知 $(1,1,1)^T$ 是 $A$ 的属于特征值 $4$ 的特征向量。由于 $4$ 必须是 $1$ 或 $k$，而 $1 \neq 4$，故 $k=4$。
公式：A \alpha = \lambda \alpha
提示：注意特征向量对应的特征值必须与已知特征值集合匹配。
步骤 2/6
目标：求特征值4的特征向量
特征值 $4$ 对应的特征向量为 $\alpha_1 = (1,1,1)^T$，单位化得 $\beta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。
提示：单位化时注意模长计算。
步骤 3/6
目标：求特征值1的特征子空间
特征值 $1$ 对应的特征子空间是 $\alpha_1$ 的正交补，即满足 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ 的向量空间。取两个正交的向量：$\alpha_2 = (1,-1,0)^T$，$\alpha_3 = (1,1,-2)^T$。
公式：x_1 + x_2 + x_3 = 0
提示：注意选取的向量需正交，可用施密特正交化。
步骤 4/6
目标：单位化特征向量
将 $\alpha_2$ 单位化得 $\beta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$；将 $\alpha_3$ 单位化得 $\beta_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$。
公式：\beta = \frac{\alpha}{\|\alpha\|}
提示：注意 $\alpha_3$ 的模长为 $\sqrt{6}$。
步骤 5/6
目标：构造正交矩阵P（初始顺序）
按特征值 $4,1,1$ 的顺序构造 $P = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$，即 $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$。此时 $P^T A P = \operatorname{diag}(4,1,1)$。
公式：P^T A P = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)
提示：注意列顺序对应特征值顺序。
步骤 6/6
目标：调整列顺序以满足题目要求
题目要求 $P^T A P = \operatorname{diag}(1,1,k)$，其中 $k=4$，因此需将特征值 $1$ 对应的列放在前两列，特征值 $4$ 对应的列放在第三列。调整后得 $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。
提示：注意调整列顺序后，对角矩阵的对角元顺序也相应改变。
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