哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
9．（15 分）已知 $\sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$\tau$ 为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\alpha, \beta \in V$ ，均有 $(\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta))$ ，证明 $\tau=\sigma^{-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件
已知 $\sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，即对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)$。另外，给定线性变换 $\tau$ 满足对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\sigma(\alpha), \beta) = (\alpha, \tau(\beta))$。
提示：注意正交变换的定义：保持内积，即 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)$。
步骤 2/4
目标：识别 $\tau$ 为 $\sigma$ 的伴随变换
根据伴随变换的定义，线性变换 $\sigma$ 的伴随变换 $\sigma^*$ 满足：对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\sigma(\alpha), \beta) = (\alpha, \sigma^*(\beta))$。与已知条件 $(\sigma(\alpha), \beta) = (\alpha, \tau(\beta))$ 比较，可得 $\tau = \sigma^*$。
公式：$(\sigma(\alpha), \beta) = (\alpha, \sigma^*(\beta))$
提示：伴随变换的定义中，内积的顺序要一致，通常左边是 $\sigma(\alpha)$ 与 $\beta$ 的内积，右边是 $\alpha$ 与 $\sigma^*(\beta)$ 的内积。
步骤 3/4
目标：利用正交变换的性质
由于 $\sigma$ 是正交变换，其伴随变换等于逆变换，即 $\sigma^* = \sigma^{-1}$。这是因为正交变换满足 $\sigma^*\sigma = I$，且 $\sigma$ 可逆，从而 $\sigma^* = \sigma^{-1}$。
公式：$\sigma^*\sigma = I$，$\sigma^* = \sigma^{-1}$
提示：正交变换的伴随等于逆，但需注意前提是 $\sigma$ 是正交变换，即 $\sigma^*\sigma = I$。
步骤 4/4
目标：得出结论
由步骤2和步骤3，得到 $\tau = \sigma^* = \sigma^{-1}$，即 $\tau = \sigma^{-1}$。证毕。
提示：最终结论要明确写出 $\tau = \sigma^{-1}$。
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