哈尔滨工程大学 2021年高等代数第0题

考虑线性变换 $\mathcal{L}(X) = X + AX - XA^2$，其中 $X$ 是 $n$ 阶复方阵。方程 $X + AX - XA^2 = O$ 即 $\mathcal{L}(X)=0$。我们需要证明 $\mathcal{L}$ 是单射，即只有零解。将 $\mathcal{L}$ 视为 $n^2$ 维线性空间上的线性变换。

由于 $A$ 的特征值均为偶数，设 $A$ 的 Jordan 标准形为 $J$，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = PJP^{-1}$。代入方程 $X + AX - XA^2 = O$ 得：$PJP^{-1}X - X P J^2 P^{-1} = -X$。左乘 $P^{-1}$，右乘 $P$，并令 $Y = P^{-1}XP$，则方程化为：$JY - YJ^2 = -Y$，即 $JY - YJ^2 + Y = 0$，或 $JY - Y(J^2 - I) = 0$，其中 $I$ 为单位矩阵。

$J$ 是 Jordan 形矩阵，其对角线元素为 $A$ 的特征值，均为偶数，设为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，每个 $\lambda_i$ 是偶数。则 $J^2 - I$ 的特征值为 $\lambda_i^2 - 1$。由于 $\lambda_i$ 是偶数，$\lambda_i^2$ 是4的倍数，所以 $\lambda_i^2 - 1$ 是奇数，特别地不为零。因此 $J^2 - I$ 可逆。

方程 $JY - Y(J^2 - I) = 0$ 是 Sylvester 方程。Sylvester 方程 $AX - XB = 0$ 有非零解的充要条件是 $A$ 与 $B$ 有公共特征值。这里 $A = J$，$B = J^2 - I$。$J$ 的特征值为偶数，$J^2 - I$ 的特征值为奇数，两者无公共特征值，故方程只有零解 $Y=0$。

由 $Y=0$ 得 $X = PYP^{-1} = 0$，因此原矩阵方程 $X+AX-XA^2=O$ 只有零解。