哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）求二重积分 $\displaystyle \iint_{D} e^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为以 $\displaystyle (0,0),(0,1),(1,0)$ 为顶点的三角形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定积分区域
积分区域 $D$ 是以 $(0,0), (0,1), (1,0)$ 为顶点的三角形，其边界为 $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 1$。因此 $D = \{ (x,y) \mid x\ge 0, y\ge 0, x+y\le 1 \}$。
提示：注意三角形区域的不等式表示，不要遗漏边界条件。
步骤 2/7
目标：变量代换
令 $u = x+y$, $v = \frac{y}{x+y}$。则 $x = u(1-v)$, $y = uv$。
提示：代换选择要使得被积函数简化，这里 $e^{y/(x+y)}$ 变为 $e^v$。
步骤 3/7
目标：计算雅可比行列式
雅可比行列式为 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1-v & -u \\ v & u \end{vmatrix} = u(1-v) + uv = u$。
公式：$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$
提示：计算行列式时注意符号，$|J| = u$，由于 $u>0$，绝对值可去掉。
步骤 4/7
目标：确定新积分区域
原区域 $D$ 中 $x\ge 0, y\ge 0, x+y\le 1$ 对应新变量：$u = x+y$ 范围 $0\le u\le 1$；$v = \frac{y}{x+y}$ 范围 $0\le v\le 1$（因为 $y\ge 0$ 且 $y\le x+y$）。所以新区域为 $\{ (u,v) \mid 0\le u\le 1, 0\le v\le 1 \}$。
提示：注意 $v$ 的取值范围：$y=0$ 时 $v=0$，$y=x+y$ 时 $v=1$。
步骤 5/7
目标：变换被积函数和积分元
被积函数 $e^{\frac{y}{x+y}} = e^v$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = |J| \mathrm{d}u\mathrm{d}v = u \mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
公式：$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = |J| \mathrm{d}u\mathrm{d}v$
提示：不要忘记雅可比行列式的绝对值。
步骤 6/7
目标：化为累次积分并计算
原积分化为 $\iint_D e^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1 \int_0^1 e^v \cdot u \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \left(\int_0^1 e^v \mathrm{d}v\right) \left(\int_0^1 u \mathrm{d}u\right) = (e-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}$。
公式：$\int_0^1 e^v \mathrm{d}v = e-1$, $\int_0^1 u \mathrm{d}u = \frac{1}{2}$
提示：注意积分限对应正确，先对 $u$ 积分再对 $v$ 积分，结果相乘。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，二重积分的值为 $\frac{e-1}{2}$。
提示：最终答案应化简为最简形式。
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