哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
三．（10 分）数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 分别收敛于 $\displaystyle a, b$ ，证明：
$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\max \{a, b\} \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \min \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\min \{a, b\}
\end{aligned}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限定义与分类讨论的必要性
已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 分别收敛于 $a$ 和 $b$。要证明 $\lim_{n\to\infty}\max\{a_n,b_n\}=\max\{a,b\}$ 和 $\lim_{n\to\infty}\min\{a_n,b_n\}=\min\{a,b\}$。由于最大值和最小值函数在 $a=b$ 时连续，在 $a\neq b$ 时局部表现为其中一个数列，因此需要分 $a=b$ 和 $a\neq b$ 两种情况讨论。
提示：注意分类讨论的完整性，不要遗漏 $a=b$ 的情况。
步骤 2/6
目标：证明 $a \neq b$ 时最大值极限等于较大者
不妨设 $a > b$。取 $\varepsilon = \frac{a-b}{2} > 0$。由极限定义，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \varepsilon$ 且 $|b_n - b| < \varepsilon$。于是 $a_n > a - \varepsilon = \frac{a+b}{2}$，$b_n < b + \varepsilon = \frac{a+b}{2}$，从而 $a_n > b_n$。因此当 $n > N$ 时，$\max\{a_n,b_n\} = a_n$，故 $\lim_{n\to\infty}\max\{a_n,b_n\} = \lim_{n\to\infty} a_n = a = \max\{a,b\}$。
公式：$\varepsilon = \frac{a-b}{2}$
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取要保证 $a_n > b_n$，即 $a-\varepsilon > b+\varepsilon$。
步骤 3/6
目标：证明 $a = b$ 时最大值极限等于该值
若 $a = b$，则 $\max\{a,b\}=a$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \varepsilon$ 且 $|b_n - a| < \varepsilon$。于是 $|\max\{a_n,b_n\} - a| \leq \max\{|a_n - a|, |b_n - a|\} < \varepsilon$，故 $\lim_{n\to\infty}\max\{a_n,b_n\} = a = \max\{a,b\}$。
公式：$|\max\{a_n,b_n\} - a| \leq \max\{|a_n - a|, |b_n - a|\}$
提示：注意不等式 $|\max\{x,y\} - c| \leq \max\{|x-c|,|y-c|\}$ 的推导。
步骤 4/6
目标：证明 $a \neq b$ 时最小值极限等于较小者
类似地，不妨设 $a > b$。取 $\varepsilon = \frac{a-b}{2}$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$a_n > b_n$，从而 $\min\{a_n,b_n\} = b_n$，故 $\lim_{n\to\infty}\min\{a_n,b_n\} = \lim_{n\to\infty} b_n = b = \min\{a,b\}$。
提示：注意与最大值证明的对称性，但需独立写出。
步骤 5/6
目标：证明 $a = b$ 时最小值极限等于该值
若 $a = b$，则 $\min\{a,b\}=a$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \varepsilon$ 且 $|b_n - a| < \varepsilon$。于是 $|\min\{a_n,b_n\} - a| \leq \max\{|a_n - a|, |b_n - a|\} < \varepsilon$，故 $\lim_{n\to\infty}\min\{a_n,b_n\} = a = \min\{a,b\}$。
公式：$|\min\{a_n,b_n\} - a| \leq \max\{|a_n - a|, |b_n - a|\}$
提示：注意与最大值情况的不等式类似，但符号不同。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上两种情况，无论 $a$ 与 $b$ 是否相等，都有 $\lim_{n\to\infty}\max\{a_n,b_n\} = \max\{a,b\}$ 和 $\lim_{n\to\infty}\min\{a_n,b_n\} = \min\{a,b\}$。证毕。
提示：最终答案需明确写出两个极限等式。
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