哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
二．（10 分）求定积分 $\displaystyle \int_{1}^{e} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量代换
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，$\mathrm{d}x = e^t \mathrm{d}t$。当 $x=1$ 时 $t=0$，当 $x=e$ 时 $t=1$。原积分化为 $\int_0^1 \sin t \cdot e^t \, \mathrm{d}t$。
公式：$t = \ln x$, $\mathrm{d}x = e^t \mathrm{d}t$
提示：注意积分上下限的变换：$x=1$ 对应 $t=0$，$x=e$ 对应 $t=1$。
步骤 2/6
目标：分部积分（第一次）
计算 $I = \int e^t \sin t \, \mathrm{d}t$。令 $u = \sin t$, $\mathrm{d}v = e^t \mathrm{d}t$，则 $\mathrm{d}u = \cos t \, \mathrm{d}t$, $v = e^t$。由分部积分公式：$I = e^t \sin t - \int e^t \cos t \, \mathrm{d}t$。
公式：$\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$
提示：选择 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 时，通常将容易求导的函数设为 $u$，容易积分的函数设为 $\mathrm{d}v$。
步骤 3/6
目标：分部积分（第二次）
对 $\int e^t \cos t \, \mathrm{d}t$ 再次分部积分。令 $u = \cos t$, $\mathrm{d}v = e^t \mathrm{d}t$，则 $\mathrm{d}u = -\sin t \, \mathrm{d}t$, $v = e^t$。于是 $\int e^t \cos t \, \mathrm{d}t = e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) \, \mathrm{d}t = e^t \cos t + \int e^t \sin t \, \mathrm{d}t$。
公式：同上
提示：注意第二次分部积分时，$\mathrm{d}u = -\sin t \, \mathrm{d}t$，符号不要出错。
步骤 4/6
目标：建立方程求解不定积分
将第二次分部积分的结果代入第一次的结果：$I = e^t \sin t - (e^t \cos t + I)$，即 $I = e^t \sin t - e^t \cos t - I$。移项得 $2I = e^t (\sin t - \cos t) + C$，所以 $I = \frac{1}{2} e^t (\sin t - \cos t) + C$。
公式：解方程 $I = e^t \sin t - e^t \cos t - I$
提示：注意常数 $C$ 的添加，最后结果要加上积分常数。
步骤 5/6
目标：代入上下限计算定积分
定积分 $\int_0^1 e^t \sin t \, \mathrm{d}t = \left. \frac{1}{2} e^t (\sin t - \cos t) \right|_0^1 = \frac{1}{2} [e(\sin 1 - \cos 1) - (0 - 1)] = \frac{1}{2} (e \sin 1 - e \cos 1 + 1)$。
公式：$\int_a^b f(t) \, \mathrm{d}t = F(b) - F(a)$
提示：代入下限 $t=0$ 时，$\sin 0 = 0$, $\cos 0 = 1$，注意计算 $e^0=1$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原积分值为 $\boxed{\dfrac{1}{2} (e \sin 1 - e \cos 1 + 1)}$。
提示：最终结果可以化简，但通常保留此形式即可。
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