哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle \Sigma$ 是区域 $\displaystyle \Omega$ 分片光滑的边界曲面，$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上二阶连续可微．证明：
$$
\iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S
$$
其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}$ 为 $u$ 在 $\displaystyle \mathbf{n}$ 方向上的方向导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用散度定理
考虑向量场 $\mathbf{F} = v \nabla u$，其散度为 $\nabla \cdot (v \nabla u)$。由散度定理（高斯公式），有
$$
\iiint_{\Omega} \nabla \cdot (v \nabla u) \, dV = \iint_{\Sigma} (v \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS.
$$
公式：散度定理：$\iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$
提示：注意向量场 $\mathbf{F}$ 的构造：$v \nabla u$，其中 $v$ 是标量函数，$\nabla u$ 是梯度向量。
步骤 2/5
目标：计算散度表达式
利用向量恒等式 $\nabla \cdot (v \nabla u) = \nabla v \cdot \nabla u + v \Delta u$，其中 $\Delta u = \nabla \cdot \nabla u$ 是拉普拉斯算子。
公式：$\nabla \cdot (v \nabla u) = \nabla v \cdot \nabla u + v \Delta u$
提示：注意 $\nabla v \cdot \nabla u$ 是点积，不是梯度作用在标量上。
步骤 3/5
目标：代入散度定理
将散度表达式代入散度定理的左边，得到
$$
\iiint_{\Omega} (\nabla v \cdot \nabla u + v \Delta u) \, dV = \iint_{\Sigma} (v \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS.
$$
提示：注意积分区域：三重积分在 $\Omega$ 上，曲面积分在边界 $\Sigma$ 上。
步骤 4/5
目标：处理曲面积分中的点积
在曲面积分中，$(v \nabla u) \cdot \mathbf{n} = v (\nabla u \cdot \mathbf{n})$。而方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$，因此曲面积分化为
$$
\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \, dS.
$$
公式：$\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$
提示：注意 $\mathbf{n}$ 是单位外法向量，方向导数定义正确。
步骤 5/5
目标：整理等式
将三重积分拆开，并注意到 $\nabla v \cdot \nabla u = \nabla u \cdot \nabla v$，得到
$$
\iiint_{\Omega} v \Delta u \, dV + \iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV = \iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \, dS.
$$
这正是所要证明的等式。
提示：注意 $\nabla u \cdot \nabla v$ 是对称的，顺序可交换。
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