哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题

由于 $\ln$ 是单调递增函数，最大化 $f(x,y,z)=\ln x+\ln y+3\ln z$ 等价于最大化 $g(x,y,z)=x y z^3$。

设拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda)=x y z^3 - \lambda (x^2+y^2+z^2-5r^2)$。

计算偏导数： $\frac{\partial L}{\partial x}=y z^3-2\lambda x=0$ (1) $\frac{\partial L}{\partial y}=x z^3-2\lambda y=0$ (2) $\frac{\partial L}{\partial z}=3x y z^2-2\lambda z=0$ (3) $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2+z^2-5r^2=0$ (4)

由 (1) 和 (2) 得 $\frac{y z^3}{x}=\frac{x z^3}{y}$，即 $y^2=x^2$，故 $y=x$（正数）。 代入 (1) 得 $x z^3=2\lambda x$，若 $x\neq0$，则 $z^3=2\lambda$。 由 (3) 得 $3x^2 z=2\lambda$，所以 $z^3=3x^2 z$，即 $z^2=3x^2$，故 $z=\sqrt{3}x$。

将 $y=x$，$z=\sqrt{3}x$ 代入 (4)：$x^2+x^2+3x^2=5x^2=5r^2$，得 $x^2=r^2$，故 $x=r$。 因此 $y=r$，$z=\sqrt{3}r$。

此时 $g=x y z^3 = r \cdot r \cdot (\sqrt{3}r)^3 = r^2 \cdot 3\sqrt{3}r^3 = 3\sqrt{3}r^5$。 所以 $f$ 的最大值为 $\ln(3\sqrt{3}r^5)=\frac{3}{2}\ln 3+5\ln r$。

要证 $a b c^3 \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5$。令 $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}, z=\sqrt{c}$，则 $a=x^2, b=y^2, c=z^2$，不等式化为 $x^2 y^2 z^6 \leq 27\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{5}\right)^5$。 两边开平方得 $x y z^3 \leq 3\sqrt{3}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{5}\right)^{5/2}$。

令 $r^2 = \frac{x^2+y^2+z^2}{5}$，则 $x^2+y^2+z^2=5r^2$。由第一问，$x y z^3$ 的最大值为 $3\sqrt{3}r^5$，即 $x y z^3 \leq 3\sqrt{3}r^5 = 3\sqrt{3}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{5}\right)^{5/2}$。 两边平方即得原不等式。等号成立当 $x=y=r$，$z=\sqrt{3}r$，即 $a=b=\frac{a+b+c}{5}$，$c=\frac{3(a+b+c)}{5}$。