哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
十一．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 是区间 $I$ 上的下凸函数当且仅当对任意 $\displaystyle \lambda>0, e^{\lambda f(x)}$ 是区域 $I$ 上的下凸函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确下凸函数的定义
设 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的下凸函数，即对任意 $x_1, x_2 \in I$ 和 $t \in [0,1]$，有 $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$。
公式：f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2)
提示：注意下凸函数的定义中不等式方向，与上凸函数相反。
步骤 2/6
目标：必要性：由f下凸推导e^{λf}下凸
考虑函数 $g(x) = e^{\lambda f(x)}$，其中 $\lambda > 0$。要证 $g(x)$ 是下凸函数，即对任意 $x_1, x_2 \in I$ 和 $t \in [0,1]$，有 $g(tx_1 + (1-t)x_2) \leq t g(x_1) + (1-t) g(x_2)$。由 $f$ 的下凸性，有 $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$。由于指数函数 $e^{\lambda u}$ 关于 $u$ 单调递增，且 $\lambda > 0$，得 $e^{\lambda f(tx_1 + (1-t)x_2)} \leq e^{\lambda (t f(x_1) + (1-t) f(x_2))}$。
公式：e^{\lambda f(tx_1 + (1-t)x_2)} \leq e^{\lambda (t f(x_1) + (1-t) f(x_2))}
提示：注意指数函数的单调性，确保不等式方向正确。
步骤 3/6
目标：利用指数函数的凸性
指数函数 $e^{\lambda u}$ 是凸函数（二阶导数 $\lambda^2 e^{\lambda u} > 0$），由Jensen不等式，有 $e^{\lambda (t f(x_1) + (1-t) f(x_2))} \leq t e^{\lambda f(x_1)} + (1-t) e^{\lambda f(x_2)}$。因此 $e^{\lambda f(tx_1 + (1-t)x_2)} \leq t e^{\lambda f(x_1)} + (1-t) e^{\lambda f(x_2)}$，即 $g(x)$ 是下凸函数。
公式：e^{\lambda (t a + (1-t) b)} \leq t e^{\lambda a} + (1-t) e^{\lambda b}
提示：Jensen不等式用于凸函数时，注意不等号方向：凸函数满足 $f(tx+(1-t)y) \leq t f(x)+(1-t)f(y)$。
步骤 4/6
目标：充分性：由e^{λf}下凸推导f下凸
假设对任意 $\lambda > 0$，$e^{\lambda f(x)}$ 是下凸函数。取定 $x_1, x_2 \in I$ 和 $t \in [0,1]$，由下凸性有 $e^{\lambda f(tx_1 + (1-t)x_2)} \leq t e^{\lambda f(x_1)} + (1-t) e^{\lambda f(x_2)}$。两边取自然对数（单调递增），得 $\lambda f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq \ln\left(t e^{\lambda f(x_1)} + (1-t) e^{\lambda f(x_2)}\right)$。
公式：\lambda f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq \ln\left(t e^{\lambda f(x_1)} + (1-t) e^{\lambda f(x_2)}\right)
提示：取对数时注意定义域，指数函数值恒正，对数有意义。
步骤 5/6
目标：取极限得到f的下凸性
两边除以 $\lambda$，得 $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq \frac{1}{\lambda} \ln\left(t e^{\lambda f(x_1)} + (1-t) e^{\lambda f(x_2)}\right)$。令 $\lambda \to 0^+$，利用极限 $\lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda} \ln\left(t e^{\lambda a} + (1-t) e^{\lambda b}\right) = t a + (1-t) b$（可由洛必达法则或指数平均的极限得到），因此 $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$，即 $f$ 是下凸函数。
公式：\lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda} \ln\left(t e^{\lambda a} + (1-t) e^{\lambda b}\right) = t a + (1-t) b
提示：极限计算时，注意分子分母同时趋于0，可用洛必达法则，或利用等价无穷小：$e^{\lambda a} \approx 1+\lambda a$。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$f(x)$ 是区间 $I$ 上的下凸函数当且仅当对任意 $\lambda>0$，$e^{\lambda f(x)}$ 是 $I$ 上的下凸函数。
提示：注意充分性中要求对任意 $\lambda>0$ 成立，才能取极限得到 $f$ 的下凸性。
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