哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
十二．（15分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，并且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，又设 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 是满足 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1$ 的 $n$ 个正数．证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 中存在 $n$ 个不相同的数 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，使得
$$
\frac{k_{1}}{f^{\prime}\left(t_{1}\right)}+\frac{k_{2}}{f^{\prime}\left(t_{2}\right)}+\cdots+\frac{k_{n}}{f^{\prime}\left(t_{n}\right)}=1
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理
令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=1$。
公式：罗尔定理：若 $g(a)=g(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $g'(\xi)=0$。
提示：注意 $f$ 不一定严格单调，但 $g$ 在端点处函数值相等。
步骤 2/6
目标：定义分点 $a_i$
令 $a_0=0$，$a_n=1$。对于 $i=1,\dots,n-1$，定义 $a_i = \sum_{j=1}^i k_j$。则 $0=a_0
提示：确保 $a_i$ 严格递增，因为 $k_j>0$。
步骤 3/6
目标：利用介值定理选取 $x_i$
由 $f$ 连续且 $f(0)=0$，$f(1)=1$，根据介值定理，存在 $x_i \in [0,1]$ 使得 $f(x_i)=a_i$，$i=0,1,\dots,n$。可选取 $x_0=0$，$x_n=1$，并保证 $0=x_0
公式：介值定理：若 $f$ 连续，则对介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任何值 $c$，存在 $x \in [a,b]$ 使得 $f(x)=c$。
提示：注意 $f$ 不一定严格单调，但可以通过调整选取顺序保证 $x_i$ 递增。
步骤 4/6
目标：对每个区间应用拉格朗日中值定理
对每个区间 $[x_{i-1}, x_i]$，$f$ 在 $[x_{i-1}, x_i]$ 上连续，在 $(x_{i-1}, x_i)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $t_i \in (x_{i-1}, x_i)$ 使得
\[ f'(t_i) = \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}} = \frac{a_i - a_{i-1}}{x_i-x_{i-1}} = \frac{k_i}{x_i-x_{i-1}}. \]
公式：拉格朗日中值定理：$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
提示：注意 $a_i - a_{i-1} = k_i$。
步骤 5/6
目标：推导 $\frac{k_i}{f'(t_i)}$ 的表达式
由上式得 $\frac{k_i}{f'(t_i)} = x_i - x_{i-1}$。
提示：注意 $f'(t_i)$ 可能为零？但由 $k_i>0$ 和 $x_i-x_{i-1}>0$ 知 $f'(t_i)>0$，所以分母不为零。
步骤 6/6
目标：求和并得到结论
求和得
\[ \sum_{i=1}^n \frac{k_i}{f'(t_i)} = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) = x_n - x_0 = 1 - 0 = 1. \]
由于 $x_i$ 互不相同，$t_i$ 也互不相同，且 $t_i \in (0,1)$。证毕。
提示：注意 $x_0=0$，$x_n=1$。
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