哈尔滨工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
四．（10 分）求二重极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限形式并应用等价无穷小替换
当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$x^3+y^3 \to 0$，因此 $\sin(x^3+y^3) \sim x^3+y^3$。于是原极限化为 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$。
公式：$\sin u \sim u$ 当 $u \to 0$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$u\to 0$，这里 $u=x^3+y^3$ 确实趋于0。
步骤 2/5
目标：利用不等式放缩分子
由绝对值不等式：$|x^3+y^3| \leq |x|^3+|y|^3$。又因为 $|x| \leq \sqrt{x^2+y^2}$，$|y| \leq \sqrt{x^2+y^2}$，所以 $|x|^3 \leq (x^2+y^2)^{3/2}$，$|y|^3 \leq (x^2+y^2)^{3/2}$。因此 $|x^3+y^3| \leq 2(x^2+y^2)^{3/2}$。
公式：$|x^3+y^3| \leq 2(x^2+y^2)^{3/2}$
提示：注意 $|x|^3 \leq (x^2+y^2)^{3/2}$ 成立是因为 $|x| \leq \sqrt{x^2+y^2}$，两边立方即得。
步骤 3/5
目标：应用夹逼定理求极限
由放缩得 $\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right| \leq \frac{2(x^2+y^2)^{3/2}}{x^2+y^2} = 2\sqrt{x^2+y^2}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$2\sqrt{x^2+y^2} \to 0$，由夹逼定理知 $\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \to 0$。
公式：夹逼定理
提示：注意分母 $x^2+y^2$ 非零，且放缩后得到 $2\sqrt{x^2+y^2}$ 趋于0。
步骤 4/5
目标：（可选）极坐标法验证
令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} = \frac{r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)}{r^2} = r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)$。由于 $|\cos^3\theta+\sin^3\theta| \leq 2$，当 $r\to 0$ 时，该式趋于0。
公式：$x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta$
提示：极坐标法需注意 $\cos^3\theta+\sin^3\theta$ 有界，因此极限为0。
步骤 5/5
目标：得出原极限结果
由以上推导，原极限 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2} = 0$。
提示：最终结果0。
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