哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $\displaystyle F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ．
（1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件与符号含义
已知 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 互不相同，定义 $F(x) = \prod_{j=1}^n (x - a_j)$，则 $F(x)$ 是 $n$ 次多项式，且 $F(a_i)=0$。$F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i - a_j) \neq 0$。定义 $L(x) = \sum_{i=1}^n \frac{b_i F(x)}{(x - a_i) F'(a_i)}$，其中 $b_i$ 是给定常数。
公式：F(x) = \prod_{j=1}^n (x - a_j), \quad F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i - a_j)
提示：注意 $F'(a_i)$ 的计算：对乘积求导后代入 $x=a_i$，非零因为 $a_i$ 互异。
步骤 2/5
目标：证明 $L(a_i) = b_i$
计算 $L(a_i)$：$L(a_i) = \sum_{k=1}^n \frac{b_k F(a_i)}{(a_i - a_k) F'(a_k)}$。当 $k \neq i$ 时，$F(a_i)=0$，故该项为 $0$。当 $k=i$ 时，$F(a_i)=0$，但分子分母同时有因子 $(a_i - a_i)$，需处理极限。注意 $\frac{F(x)}{x - a_i} = \prod_{j \neq i} (x - a_j)$，所以 $\frac{F(x)}{(x - a_i) F'(a_i)} \Big|_{x=a_i} = \frac{\prod_{j \neq i} (a_i - a_j)}{F'(a_i)} = 1$。因此 $L(a_i) = b_i$。
公式：\frac{F(x)}{(x - a_i) F'(a_i)} \Big|_{x=a_i} = 1
提示：当 $k=i$ 时，不能直接代入 $x=a_i$ 因为分母为零，需先化简再代入。
步骤 3/5
目标：分析 $L(x)$ 的次数
每个项 $\frac{F(x)}{(x - a_i) F'(a_i)}$ 中，$F(x)$ 是 $n$ 次多项式，除以 $(x - a_i)$ 后得到 $n-1$ 次多项式，且分母 $F'(a_i)$ 是常数，所以每个项都是 $n-1$ 次多项式。求和后 $L(x)$ 是次数不超过 $n-1$ 的多项式。
公式：\deg\left(\frac{F(x)}{x - a_i}\right) = n-1
提示：注意 $L(x)$ 可能次数更低，但不超过 $n-1$。
步骤 4/5
目标：证明 $L(x)$ 是满足插值条件的最低次数多项式
假设存在多项式 $P(x)$ 满足 $\deg P \leq n-2$ 且 $P(a_i) = b_i$ 对所有 $i$ 成立。考虑 $Q(x) = L(x) - P(x)$，则 $\deg Q \leq n-1$，且 $Q(a_i) = b_i - b_i = 0$，故 $a_1, \dots, a_n$ 是 $Q(x)$ 的 $n$ 个不同的根。但 $\deg Q \leq n-1$，除非 $Q \equiv 0$，否则最多 $n-1$ 个根。因此 $Q \equiv 0$，即 $L(x) = P(x)$。所以任何满足插值条件的多项式次数至少为 $n-1$，而 $L(x)$ 次数为 $n-1$，故 $L(x)$ 是次数最低的。
公式：\deg Q \leq n-1, \quad Q(a_i)=0 \Rightarrow Q \equiv 0
提示：注意根的数量与次数的关系：非零多项式次数为 $m$ 最多有 $m$ 个根。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）已证 $L(a_i)=b_i$。（2）$L(x)$ 是次数不超过 $n-1$ 的多项式，且任何满足 $P(a_i)=b_i$ 的多项式次数至少为 $n-1$，故 $L(x)$ 是满足条件的最低次数多项式，即拉格朗日插值多项式。
提示：注意 $L(x)$ 的表达式就是拉格朗日插值公式的标准形式。
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