哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题

设 $f(x), g(x) \in P[x]$，其中 $P$ 是一个数域。要证明三个命题等价： (1) $f(x), g(x)$ 有公共根； (2) $\exists u(x), v(x)$ 使得 $f(x) u(x)=g(x) v(x)$，且 $\partial(u(x))<\partial(g(x)), \partial(v(x))<\partial(f(x))$； (3) $f(x), g(x)$ 有非常数的公因式。

假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有公共根 $\alpha$，则存在多项式 $f_1(x), g_1(x)$ 使得 $f(x) = (x-\alpha) f_1(x)$，$g(x) = (x-\alpha) g_1(x)$。取 $u(x) = g_1(x)$，$v(x) = f_1(x)$，则 $f(x) u(x) = (x-\alpha) f_1(x) g_1(x) = g(x) v(x)$。由于 $\partial(g(x)) = \partial(g_1(x)) + 1$，故 $\partial(u(x)) = \partial(g_1(x)) < \partial(g(x))$；同理 $\partial(v(x)) = \partial(f_1(x)) < \partial(f(x))$。因此 (2) 成立。

由 (2) 知存在 $u(x), v(x)$ 满足 $f(x) u(x) = g(x) v(x)$ 且 $\partial(u) < \partial(g)$，$\partial(v) < \partial(f)$。设 $d(x) = \gcd(f(x), g(x))$，则存在互素的多项式 $f_1(x), g_1(x)$ 使得 $f = d f_1$，$g = d g_1$，且 $\gcd(f_1, g_1) = 1$。代入等式得 $d f_1 u = d g_1 v$，即 $f_1 u = g_1 v$。

由 $f_1 u = g_1 v$ 且 $\gcd(f_1, g_1) = 1$，根据互素多项式的性质，$f_1 \mid v$。因此存在多项式 $h(x)$ 使得 $v = f_1 h$。代入得 $f_1 u = g_1 f_1 h$，即 $u = g_1 h$。于是 $\partial(v) = \partial(f_1) + \partial(h)$，$\partial(u) = \partial(g_1) + \partial(h)$。

由条件 $\partial(v) < \partial(f) = \partial(d) + \partial(f_1)$，代入 $\partial(v) = \partial(f_1) + \partial(h)$ 得 $\partial(f_1) + \partial(h) < \partial(d) + \partial(f_1)$，即 $\partial(h) < \partial(d)$。同理，由 $\partial(u) < \partial(g) = \partial(d) + \partial(g_1)$ 得 $\partial(g_1) + \partial(h) < \partial(d) + \partial(g_1)$，即 $\partial(h) < \partial(d)$。若 $\partial(d) = 0$，则 $\partial(h) < 0$，矛盾。因此 $\partial(d) > 0$，即 $d(x)$ 是非常数多项式，从而 $f$ 与 $g$ 有非常数公因式。

若 $f$ 与 $g$ 有非常数公因式 $d(x)$，则 $d(x)$ 在复数域内至少有一个根 $\alpha$（因为数域上多项式在复数域内可分解为一次因式的乘积）。由于 $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid g(x)$，所以 $\alpha$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公共根。因此 (1) 成立。

由 (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)，三个命题等价。