哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．$\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\ x_{1}+2 \lambda x_{2}+3 x_{3}=\lambda, \\ x_{1}+2 x_{2}+3 \lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 取何值时，有解（解是多少）？无解，唯一？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
线性方程组为：
\[\begin{cases}\lambda x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ x_1 + 2\lambda x_2 + 3x_3 = \lambda \\ x_1 + 2x_2 + 3\lambda x_3 = \lambda \end{cases}\]
系数矩阵 \(A\) 和常数向量 \(b\) 为：
\[A = \begin{pmatrix} \lambda & 2 & 3 \\ 1 & 2\lambda & 3 \\ 1 & 2 & 3\lambda \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda \end{pmatrix}\]
提示：注意系数矩阵中 \(\lambda\) 的位置，不要写错。
步骤 2/7
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 \(\det A\)：
\[\det A = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 3 \\ 1 & 2\lambda & 3 \\ 1 & 2 & 3\lambda \end{vmatrix}\]
按第一行展开：
\[\det A = \lambda \begin{vmatrix} 2\lambda & 3 \\ 2 & 3\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3\lambda \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\]
计算各子式：
\[\begin{vmatrix} 2\lambda & 3 \\ 2 & 3\lambda \end{vmatrix} = 6\lambda^2 - 6 = 6(\lambda^2-1)\]
\[\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3\lambda \end{vmatrix} = 3\lambda - 3 = 3(\lambda-1)\]
\[\begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2\lambda = 2(1-\lambda)\]
代入得：
\[\det A = \lambda \cdot 6(\lambda^2-1) - 2 \cdot 3(\lambda-1) + 3 \cdot 2(1-\lambda) = 6\lambda(\lambda^2-1) - 6(\lambda-1) + 6(1-\lambda)\]
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：第二项系数为 \(-2\)，第三项为 \(+3\)。
步骤 3/7
目标：化简行列式表达式
合并后两项：
\[-6(\lambda-1) + 6(1-\lambda) = -6(\lambda-1) -6(\lambda-1) = -12(\lambda-1)\]
所以：
\[\det A = 6\lambda(\lambda^2-1) - 12(\lambda-1) = 6(\lambda-1)[\lambda(\lambda+1) - 2] = 6(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2)\]
因式分解 \(\lambda^2+\lambda-2 = (\lambda-1)(\lambda+2)\)，得：
\[\det A = 6(\lambda-1)^2(\lambda+2)\]
提示：注意提取公因式 \((\lambda-1)\) 时不要漏掉系数。
步骤 4/7
目标：讨论唯一解情况
当 \(\det A \neq 0\) 时，方程组有唯一解。即 \(\lambda \neq 1\) 且 \(\lambda \neq -2\) 时，有唯一解。此时可用克莱姆法则求解，但题目未要求具体解，故只需说明有唯一解。
公式：克莱姆法则
提示：注意 \(\det A = 0\) 时可能无解或无穷多解，需进一步讨论。
步骤 5/7
目标：讨论 λ=1 的情况
当 \(\lambda = 1\) 时，方程组化为：
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \end{cases}\]
三个方程相同，等价于一个方程，有无穷多解。解为：
\[x_1 = 1 - 2x_2 - 3x_3\]
其中 \(x_2, x_3\) 为自由变量。
提示：注意此时系数矩阵秩为1，增广矩阵秩也为1，故有无穷多解。
步骤 6/7
目标：讨论 λ=-2 的情况
当 \(\lambda = -2\) 时，方程组为：
\[\begin{cases} -2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ x_1 -4x_2 + 3x_3 = -2 \\ x_1 + 2x_2 -6x_3 = -2 \end{cases}\]
写出增广矩阵并做行变换：
\[\begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -6 & -2 \end{pmatrix}\]
交换第1、2行：
\[\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ -2 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -6 & -2 \end{pmatrix}\]
第2行加2倍第1行，第3行减第1行：
\[\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & -6 & 9 & -3 \\ 0 & 6 & -9 & 0 \end{pmatrix}\]
第3行加第2行：
\[\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & -6 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}\]
最后一行对应方程 \(0 = -3\)，矛盾，故无解。
提示：行变换要仔细，避免计算错误。注意最后一行出现矛盾即无解。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述：
- 当 \(\lambda \neq 1\) 且 \(\lambda \neq -2\) 时，方程组有唯一解。
- 当 \(\lambda = 1\) 时，有无穷多解，解为 \(x_1 = 1 - 2x_2 - 3x_3\)，\(x_2, x_3\) 任意。
- 当 \(\lambda = -2\) 时，无解。
提示：注意区分唯一解、无穷多解和无解的条件。
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