哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下述条件等价．
（1）$r(A)=n$ ；（2）存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=\binom{E_{n}}{0}$ ；（3）存在 $n \times m$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $B A=E_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 (1) ⇒ (2)
已知 $r(A)=n$，即 $A$ 的列向量线性无关，且 $m \geq n$。对 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形。由于列满秩，行最简形为 $\begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。初等行变换对应左乘初等矩阵，故存在可逆矩阵 $P$（初等矩阵的乘积）使得 $PA = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意行最简形的唯一性：列满秩时，行最简形的前 $n$ 行是 $E_n$，后 $m-n$ 行全为零。
步骤 2/4
目标：证明 (2) ⇒ (3)
由 (2) 存在可逆 $P$ 使得 $PA = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。将 $P$ 分块为 $P = \begin{pmatrix} P_1 \\ P_2 \end{pmatrix}$，其中 $P_1$ 为 $n \times m$ 矩阵，$P_2$ 为 $(m-n) \times m$ 矩阵。则 $PA = \begin{pmatrix} P_1 A \\ P_2 A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$，所以 $P_1 A = E_n$。取 $B = P_1$，则 $BA = E_n$。
提示：分块时注意 $P$ 的行数：$P$ 是 $m \times m$ 矩阵，分块后 $P_1$ 是 $n \times m$，$P_2$ 是 $(m-n) \times m$。
步骤 3/4
目标：证明 (3) ⇒ (1)
由 (3) 存在 $B$ 使得 $BA = E_n$。因为 $E_n$ 的秩为 $n$，而 $r(BA) \leq r(A)$，所以 $n = r(E_n) = r(BA) \leq r(A) \leq n$，故 $r(A)=n$。
公式：$r(BA) \leq r(A)$
提示：注意秩不等式：$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，这里 $r(BA) \leq r(A)$。
步骤 4/4
目标：总结等价性
由 (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)，三个条件等价。
提示：循环证明要确保每个方向都正确。
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