哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．若对称矩阵 $A_{n \times n}$ 为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矩阵，证明：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 半正定的充要条件为存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^{2}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件和目标
已知对称矩阵 $A_{n\times n}$ 是二次型 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$ 的矩阵。需要证明 $f$ 半正定的充要条件是存在对称矩阵 $B$ 使得 $A=B^2$。
公式：f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}
提示：注意 $A$ 是对称矩阵，半正定二次型对应的矩阵是半正定矩阵。
步骤 2/7
目标：必要性：从半正定推出存在对称矩阵B
假设 $f$ 半正定，则 $A$ 是半正定对称矩阵。根据对称矩阵的谱分解定理，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $A = Q \Lambda Q^T$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，且所有特征值 $\lambda_i \geq 0$。
公式：A = Q \Lambda Q^T, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n), \; \lambda_i \geq 0
提示：谱分解要求矩阵对称，半正定性保证特征值非负。
步骤 3/7
目标：构造对称矩阵B
定义 $\sqrt{\Lambda} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $\sqrt{\Lambda}$ 是对角半正定矩阵。令 $B = Q \sqrt{\Lambda} Q^T$，由于 $Q$ 正交，$B$ 是对称矩阵。
公式：B = Q \sqrt{\Lambda} Q^T
提示：注意 $\sqrt{\Lambda}$ 是实对角矩阵，因为 $\lambda_i \geq 0$。
步骤 4/7
目标：验证B满足A=B^2
计算 $B^2 = (Q \sqrt{\Lambda} Q^T)(Q \sqrt{\Lambda} Q^T) = Q \sqrt{\Lambda} (Q^T Q) \sqrt{\Lambda} Q^T = Q \sqrt{\Lambda} \sqrt{\Lambda} Q^T = Q \Lambda Q^T = A$。因此存在对称矩阵 $B$ 使得 $A=B^2$。必要性得证。
公式：B^2 = Q \sqrt{\Lambda} Q^T Q \sqrt{\Lambda} Q^T = Q \Lambda Q^T = A
提示：利用 $Q^T Q = I$ 简化计算。
步骤 5/7
目标：充分性：从存在对称矩阵B推出半正定
假设存在对称矩阵 $B$ 使得 $A = B^2$。对任意向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，计算二次型 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{x}^T B^2 \mathbf{x} = \mathbf{x}^T (B B) \mathbf{x}$。由于 $B$ 对称，$\mathbf{x}^T B^2 \mathbf{x} = (B\mathbf{x})^T (B\mathbf{x}) = \|B\mathbf{x}\|^2$。
公式：f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T B^2 \mathbf{x} = (B\mathbf{x})^T (B\mathbf{x}) = \|B\mathbf{x}\|^2
提示：注意 $B$ 对称，所以 $B^T = B$，从而 $(B\mathbf{x})^T = \mathbf{x}^T B^T = \mathbf{x}^T B$。
步骤 6/7
目标：由范数非负性得半正定
由于 $\|B\mathbf{x}\|^2 \geq 0$ 对所有 $\mathbf{x}$ 成立，故 $f(\mathbf{x}) \geq 0$，即二次型 $f$ 半正定。充分性得证。
公式：\|B\mathbf{x}\|^2 \geq 0
提示：半正定要求对所有向量非负，这里显然成立。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合必要性和充分性，$f$ 半正定当且仅当存在对称矩阵 $B$ 使得 $A = B^2$。
提示：注意 $B$ 不唯一，但存在性即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。