哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
8．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$C(A)=\{B \mid A B=B A\}$ ．
（1）证明 $C(A)$ 是线性空间；（2）当 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $C(A)$ 的维数与一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明C(A)是线性空间
设 $B, C \in C(A)$，即 $AB=BA$，$AC=CA$。对任意 $k \in \mathbb{F}$，有 $A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A$，故 $B+C \in C(A)$；$A(kB)=kAB=kBA=(kB)A$，故 $kB \in C(A)$。因此 $C(A)$ 对加法和数乘封闭，是线性空间。
提示：注意验证封闭性时需同时满足加法和数乘封闭。
步骤 2/6
目标：设出与A可交换的矩阵B
设 $B=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix}$，由 $AB=BA$ 列出方程。
提示：B是3×3矩阵，有9个未知数。
步骤 3/6
目标：计算AB和BA
计算 $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1+x_4 & x_2+x_5 & x_3+x_6 \\ 2x_7 & 2x_8 & 2x_9 \end{pmatrix}$。
计算 $BA = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2 & x_2 & 2x_3 \\ x_4+x_5 & x_5 & 2x_6 \\ x_7+x_8 & x_8 & 2x_9 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵乘法顺序不可颠倒，注意下标。
步骤 4/6
目标：由AB=BA得到方程组
由 $AB=BA$ 得对应元素相等：
$$
\begin{cases}
x_1 = x_1+x_2 \\
x_2 = x_2 \\
x_3 = 2x_3 \\
x_1+x_4 = x_4+x_5 \\
x_2+x_5 = x_5 \\
x_3+x_6 = 2x_6 \\
2x_7 = x_7+x_8 \\
2x_8 = x_8 \\
2x_9 = 2x_9
\end{cases}
$$
化简得：
$$
\begin{cases}
x_2 = 0 \\
x_3 = 0 \\
x_4 = x_5 \\
x_5 = 0 \\
x_6 = 0 \\
x_7 = 0 \\
x_8 = 0
\end{cases}
$$
进一步得 $x_2=0, x_4=0, x_5=0$。
提示：注意从 $x_1 = x_1+x_2$ 得 $x_2=0$；从 $x_2+x_5 = x_5$ 得 $x_2=0$；从 $x_3 = 2x_3$ 得 $x_3=0$；从 $x_3+x_6 = 2x_6$ 得 $x_3=x_6$，结合 $x_3=0$ 得 $x_6=0$；从 $2x_7 = x_7+x_8$ 得 $x_7=x_8$；从 $2x_8 = x_8$ 得 $x_8=0$，故 $x_7=0$。
步骤 5/6
目标：确定自由变量和B的形式
由方程组得 $x_1, x_9$ 自由，其余为0。故 $B = \begin{pmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_9 \end{pmatrix}$。
提示：注意检查所有方程，确保没有遗漏自由变量。
步骤 6/6
目标：求C(A)的维数和一组基
自由变量个数为2，故维数为2。一组基可取：
$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$E_{33} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：基向量需线性无关且张成整个空间。
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