哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
9．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为其列向量．证明如下论述等价：
（1）$A$ 是正交矩阵；
（2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基；
（3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定矩阵与列向量
设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_i \in \mathbb{R}^n$ 为列向量。
提示：注意列向量的顺序与矩阵列对应。
步骤 2/5
目标：证明 (1) ⇒ (2)：正交矩阵推出列向量规范正交
若 $A$ 是正交矩阵，则 $A^T A = I$。计算 $A^T A$ 的 $(i,j)$ 元：$(A^T A)_{ij} = \alpha_i^T \alpha_j$。由 $A^T A = I$ 得 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$（Kronecker符号），即 $\alpha_i$ 与 $\alpha_j$ 正交（$i \neq j$）且 $\|\alpha_i\| = 1$。因此 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 构成 $\mathbb{R}^n$ 的规范正交基。
公式：$A^T A = I$ 且 $(A^T A)_{ij} = \alpha_i^T \alpha_j$
提示：注意 $\alpha_i^T \alpha_j$ 是内积，$\delta_{ij}$ 当 $i=j$ 时为1，否则为0。
步骤 3/5
目标：证明 (2) ⇒ (3)：规范正交基推出内积保持
若 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是规范正交基，则 $A^T A = I$。对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^n$，有 $(AX, AY) = (AX)^T (AY) = X^T A^T A Y = X^T I Y = X^T Y = (X, Y)$。
公式：$(AX, AY) = X^T A^T A Y$
提示：内积 $(u,v)$ 通常定义为 $u^T v$，注意矩阵乘法的结合律。
步骤 4/5
目标：证明 (3) ⇒ (1)：内积保持推出正交矩阵
若对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^n$ 有 $(AX, AY) = (X, Y)$，取 $X = e_i, Y = e_j$（标准基），则 $(Ae_i, Ae_j) = (\alpha_i, \alpha_j) = \alpha_i^T \alpha_j$，而 $(e_i, e_j) = \delta_{ij}$。故 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$，即 $A^T A = I$，所以 $A$ 是正交矩阵。
公式：$\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$ 等价于 $A^T A = I$
提示：标准基 $e_i$ 是第 $i$ 个分量为1其余为0的向量，$Ae_i = \alpha_i$。
步骤 5/5
目标：总结等价性
由以上三步，我们证明了 (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)，因此三个论述等价。
提示：等价性证明需要循环推导，缺一不可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。