哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
10．$A, B$ 为实对称矩阵，证明 $A B=B A$ 的充分必要条件为 $A, B$ 有 $n$ 个公共的线性无关的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性：假设AB=BA，利用A的实对称性正交对角化
由于$A$是实对称矩阵，存在正交矩阵$P$使得$P^TAP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中$\lambda_i$为$A$的特征值。
公式：P^TAP = \Lambda
提示：注意正交矩阵满足$P^TP=I$，且$P$的列向量是$A$的单位正交特征向量。
步骤 2/6
目标：利用交换性推导$C=P^TBP$与$\Lambda$可交换
由$AB=BA$得$P^TAP \cdot P^TBP = P^TBP \cdot P^TAP$，即$\Lambda C = C \Lambda$，其中$C = P^TBP$。
公式：\Lambda C = C \Lambda
提示：注意矩阵乘法顺序：$P^TABP = P^TAPP^TBP$，因为$P$正交。
步骤 3/6
目标：分析$\Lambda C = C \Lambda$得到$C$的分块对角结构
设$C=(c_{ij})$，则$\Lambda C = C \Lambda$给出$\lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j$，即$c_{ij}(\lambda_i-\lambda_j)=0$。因此若$\lambda_i \neq \lambda_j$，则$c_{ij}=0$。所以$C$是分块对角矩阵，每个块对应$A$的相同特征值。
公式：c_{ij}(\lambda_i-\lambda_j)=0
提示：注意$\lambda_i$可能重复，分块对角矩阵的块大小等于特征值的重数。
步骤 4/6
目标：对$C$的每个块正交对角化，构造同时对角化$A$和$B$的正交矩阵
由于$B$实对称，$C$也是实对称，每个块可正交对角化。存在正交矩阵$Q$（与$\Lambda$可交换，即分块对角）使得$Q^T C Q$为对角矩阵。令$R=PQ$，则$R$正交，且$R^T A R = \Lambda$，$R^T B R$为对角矩阵。因此$A$与$B$可同时正交对角化，$R$的列向量即为$n$个公共的线性无关的特征向量。
公式：R=PQ, \quad R^T A R = \Lambda, \quad R^T B R \text{ 对角}
提示：注意$Q$必须与$\Lambda$可交换，即$Q$也是分块对角矩阵，否则会破坏$\Lambda$的对角性。
步骤 5/6
目标：充分性：假设存在$n$个公共线性无关的特征向量，证明$AB=BA$
设$\xi_1,\dots,\xi_n$是$A$和$B$的公共特征向量，满足$A\xi_i = \lambda_i \xi_i$，$B\xi_i = \mu_i \xi_i$。则$AB\xi_i = A(\mu_i \xi_i) = \mu_i A\xi_i = \mu_i \lambda_i \xi_i$，$BA\xi_i = B(\lambda_i \xi_i) = \lambda_i B\xi_i = \lambda_i \mu_i \xi_i$。因此$AB\xi_i = BA\xi_i$对所有$i$成立。由于$\xi_1,\dots,\xi_n$线性无关，构成一组基，故对任意向量$x$，$ABx = BAx$，即$AB=BA$。
公式：AB\xi_i = \lambda_i \mu_i \xi_i = BA\xi_i
提示：注意特征值乘法交换，但$\lambda_i$和$\mu_i$不一定相等。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$AB=BA$的充分必要条件为$A$与$B$有$n$个公共的线性无关的特征向量。
提示：注意条件是“$n$个公共的线性无关的特征向量”，即它们可以同时对角化。
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