哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 满足 $f=x^\mathrm{T}Ax$，其中 $A$ 为实对称矩阵。根据二次型系数：$x_i^2$ 系数放在对角线上，$x_ix_j$（$i\neq j$）系数的一半放在 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 位置。因此 \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}. \]

计算特征多项式 $|\lambda E - A|=0$： \[ |\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-5 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-5 \end{vmatrix}. \] 将第2行乘以-1加到第3行，或直接展开得 $(\lambda-1)^2(\lambda-10)=0$，故特征值为 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=10$。

对于 $\lambda=1$，解 $(E-A)x=0$： \[ E-A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] 得 $x_1+2x_2-2x_3=0$，基础解系为 $\xi_1=(-2,1,0)^\mathrm{T}$，$\xi_2=(2,0,1)^\mathrm{T}$。

使用施密特正交化：取 $\beta_1=\xi_1=(-2,1,0)^\mathrm{T}$，计算 \[ \beta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 = (2,0,1)^\mathrm{T} - \frac{-4}{5}(-2,1,0)^\mathrm{T} = \left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1\right)^\mathrm{T}. \]

将正交化后的向量单位化： \[ p_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right)^\mathrm{T}, \quad p_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \left(\frac{2}{\sqrt{45}},\frac{4}{\sqrt{45}},\frac{5}{\sqrt{45}}\right)^\mathrm{T}. \]

对于 $\lambda=10$，解 $(10E-A)x=0$： \[ 10E-A = \begin{pmatrix} 8 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \] 得 $\xi_3=(1,-2,2)^\mathrm{T}$，单位化： \[ p_3 = \left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)^\mathrm{T}. \]

正交变换矩阵 $P$ 由单位正交特征向量构成： \[ P = (p_1,p_2,p_3) = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{45}} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{\sqrt{45}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{45}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}. \] 则正交变换 $x=Py$ 将二次型化为标准形 $f = y_1^2 + y_2^2 + 10y_3^2$。