哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六．设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\
x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
与方程 $\displaystyle x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1$ 有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析齐次方程组系数矩阵的行列式
计算系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2 \end{pmatrix}$ 的行列式：
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2 \end{vmatrix} = (2a^2 + a + 4) - (2 + 4a + a^2) = a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2).$$
公式：$\det(A) = (a-1)(a-2)$
提示：计算行列式时注意符号，避免代数运算错误。
步骤 2/7
目标：讨论 $a \neq 1,2$ 时的情况
当 $a \neq 1$ 且 $a \neq 2$ 时，$\det(A) \neq 0$，齐次方程组只有零解 $x_1=x_2=x_3=0$。代入非齐次方程 $x_1+2x_2+x_3 = a-1$ 得 $0 = a-1$，推出 $a=1$，与假设矛盾。故此时无公共解。
提示：注意零解代入非齐次方程后得到关于 $a$ 的条件，需与假设一致。
步骤 3/7
目标：讨论 $a=1$ 时齐次方程组的通解
当 $a=1$ 时，系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$，秩为2。解齐次方程组：由前两个方程 $x_1+x_2+x_3=0$ 和 $x_1+2x_2+x_3=0$ 相减得 $x_2=0$，代入得 $x_1=-x_3$。取 $x_3=1$，得基础解系 $\xi = (-1,0,1)^T$。通解为 $k(-1,0,1)^T$，$k \in \mathbb{R}$。
提示：求基础解系时注意自由变量的选取，通常取非主元列对应的变量。
步骤 4/7
目标：验证 $a=1$ 时公共解
将通解 $x_1=-k, x_2=0, x_3=k$ 代入非齐次方程 $x_1+2x_2+x_3 = a-1 = 0$，得 $-k + 0 + k = 0$，恒成立。所以所有公共解为 $k(-1,0,1)^T$，$k \in \mathbb{R}$。
提示：代入后方程恒成立，说明整个解空间都是公共解。
步骤 5/7
目标：讨论 $a=2$ 时齐次方程组的通解
当 $a=2$ 时，系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 4 \end{pmatrix}$，秩为2。解齐次方程组：由前两个方程 $x_1+x_2+x_3=0$ 和 $x_1+2x_2+2x_3=0$ 相减得 $x_2+x_3=0$，即 $x_2=-x_3$，代入第一式得 $x_1=0$。取 $x_3=1$，得基础解系 $\eta = (0,-1,1)^T$。通解为 $k(0,-1,1)^T$，$k \in \mathbb{R}$。
提示：注意与 $a=1$ 时解的结构不同，自由变量选取一致。
步骤 6/7
目标：验证 $a=2$ 时公共解
将通解 $x_1=0, x_2=-k, x_3=k$ 代入非齐次方程 $x_1+2x_2+x_3 = a-1 = 1$，得 $0 + 2(-k) + k = -k = 1$，解得 $k = -1$。故公共解为 $k(0,-1,1)^T = (0,1,-1)^T$。
提示：代入后得到关于 $k$ 的方程，解出唯一 $k$，注意符号。
步骤 7/7
目标：总结答案
综上所述，$a=1$ 时所有公共解为 $k(-1,0,1)^T$，$k \in \mathbb{R}$；$a=2$ 时公共解为 $(0,1,-1)^T$。
提示：注意 $a=1$ 时有无穷多公共解，$a=2$ 时只有一个公共解。
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