哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题

已知 $A^* = A^T$，两边取行列式得 $|A^*| = |A^T|$。对于 $n$ 阶方阵，有 $|A^*| = |A|^{n-1}$，且 $|A^T| = |A|$。代入 $n=3$ 得 $|A|^2 = |A|$，解得 $|A|=0$ 或 $|A|=1$。

若 $|A|=0$，则 $A$ 不可逆。由 $A^* = A^T$ 左乘 $A$ 得 $AA^* = AA^T$。而 $AA^* = |A|I = 0$，故 $AA^T = 0$。设 $A$ 的行向量为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，则 $AA^T$ 的 $(i,j)$ 元为 $\alpha_i \cdot \alpha_j$，因此对所有 $i,j$ 有 $\alpha_i \cdot \alpha_j = 0$。特别地，$\|\alpha_i\|^2 = 0$，所以 $\alpha_i = 0$，从而 $A=0$。此时 $A^2-A=0$，$|A^2-A|=0$。

若 $|A|=1$，则 $A$ 可逆。由 $A^* = |A|A^{-1} = A^{-1}$ 及 $A^* = A^T$ 得 $A^{-1} = A^T$，即 $A^T A = I$，所以 $A$ 是正交矩阵。于是 $A^2 - A = A(A - I)$，取行列式得 $|A^2-A| = |A| \cdot |A-I| = |A-I|$。

由于 $A$ 是正交矩阵，其特征值模为1，且实矩阵的复特征值共轭成对出现。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则 $|A| = \lambda_1\lambda_2\lambda_3 = 1$。$|A-I| = \prod_{i=1}^3 (\lambda_i - 1)$。

考虑可能的情况： - 若 $\lambda=1$ 是特征值，则 $\lambda-1=0$，此时 $|A-I|=0$。 - 若 $\lambda=-1$ 是特征值，则 $\lambda-1=-2$。但若 $-1$ 出现，由于 $|A|=1$，可能的情况是：一个 $-1$ 和两个共轭复根 $e^{i\theta}, e^{-i\theta}$，乘积为 $(-1)\cdot 1 = -1$，与 $|A|=1$ 矛盾；或三个 $-1$，乘积为 $-1$，矛盾；或一个 $-1$ 和两个 $1$，乘积为 $-1$，矛盾。所以 $-1$ 不能是特征值。 - 若特征值都是复数，则必有一对共轭复根 $e^{i\theta}, e^{-i\theta}$ 和一个实数 $1$（因为乘积为1且实特征值只能是 $\pm 1$，但 $-1$ 被排除），所以特征值为 $1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}$。此时 $|A-I| = (1-1)(e^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-1)=0$。 综上，$|A-I|=0$。

由 $|A^2-A| = |A-I| = 0$，且 $|A|=0$ 时也为0，故无论 $|A|=0$ 还是 $|A|=1$，都有 $|A^2-A|=0$。