哈尔滨工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$b$ 是 $m$ 维实列向量．求证：方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解的充分必要条件为方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
A^{T} Y=0 \\
b^{T} Y=1
\end{array}\right.
$$
无解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目条件和目标
题目给出 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，$b$ 是 $m$ 维实列向量。要证明：方程组 $AX = b$ 有解的充分必要条件是方程组 $\begin{cases} A^T Y = 0 \\ b^T Y = 1 \end{cases}$ 无解。
提示：注意两个方程组中未知数不同：第一个是 $X$，第二个是 $Y$。
步骤 2/4
目标：证明必要性：假设 $AX=b$ 有解，推出第二个方程组无解
假设 $AX = b$ 有解，则存在 $X_0$ 使得 $AX_0 = b$。若存在 $Y$ 满足 $A^T Y = 0$ 且 $b^T Y = 1$，则计算 $X_0^T (A^T Y) = (A X_0)^T Y = b^T Y = 1$。但另一方面 $X_0^T (A^T Y) = X_0^T \cdot 0 = 0$，得到 $0=1$ 矛盾。因此这样的 $Y$ 不存在，即第二个方程组无解。
公式：$X_0^T (A^T Y) = (A X_0)^T Y$
提示：注意矩阵乘法结合律：$X_0^T (A^T Y) = (X_0^T A^T) Y = (A X_0)^T Y$。
步骤 3/4
目标：证明充分性：假设 $AX=b$ 无解，推出第二个方程组有解
假设 $AX = b$ 无解，则 $b$ 不在 $A$ 的列空间 $\operatorname{Col}(A)$ 中。考虑 $\operatorname{Col}(A)$ 的正交补 $\operatorname{Col}(A)^\perp = \ker(A^T)$。由于 $b \notin \operatorname{Col}(A)$，存在 $Y_0 \in \ker(A^T)$ 使得 $b^T Y_0 \neq 0$（否则所有 $\ker(A^T)$ 中的向量都与 $b$ 正交，则 $b$ 属于 $\ker(A^T)^\perp = \operatorname{Col}(A)$，矛盾）。令 $Y = \frac{Y_0}{b^T Y_0}$，则 $A^T Y = A^T (Y_0 / (b^T Y_0)) = 0$，且 $b^T Y = b^T Y_0 / (b^T Y_0) = 1$。因此第二个方程组有解。
公式：$\operatorname{Col}(A)^\perp = \ker(A^T)$
提示：注意正交补的性质：$\ker(A^T)$ 是 $\operatorname{Col}(A)$ 的正交补。
步骤 4/4
目标：总结结论
由必要性：若 $AX=b$ 有解则第二个方程组无解；由充分性：若 $AX=b$ 无解则第二个方程组有解。因此 $AX=b$ 有解当且仅当第二个方程组无解。命题得证。
提示：充分性证明中，需要确保存在 $Y_0$ 使得 $b^T Y_0 \neq 0$，这是关键步骤。
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