哈尔滨工程大学 2024年高等代数第10题

计算特征多项式 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 & 0 \\ -8 & \lambda-2 & 0 \\ 0 & -a & \lambda-6 \end{vmatrix} = (\lambda-6)[(\lambda-2)^2 - 16] = (\lambda-6)(\lambda^2 - 4\lambda -12)$，解得特征值 $\lambda_1 = 6$（二重根），$\lambda_2 = -2$（单根）。

对于二重特征值 $\lambda=6$，计算 $A-6I = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 8 & -4 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{pmatrix}$。可相似对角化要求几何重数等于代数重数2，即 $\operatorname{rank}(A-6I)=1$。当 $a=0$ 时，秩为1；当 $a\neq0$ 时，秩为2。故 $a=0$。

由于 $A$ 不对称，二次型 $f(X)=X^T A X$ 对应的对称矩阵为 $B = \frac{A+A^T}{2} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$。

计算 $\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -5 & 0 \\ -5 & \lambda-2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-6 \end{vmatrix} = (\lambda-6)[(\lambda-2)^2-25] = (\lambda-6)(\lambda^2-4\lambda-21)$，解得特征值 $\lambda_1=7$，$\lambda_2=-3$，$\lambda_3=6$。

对于 $\lambda=7$：解 $(7I-B)x=0$，得 $x_1=x_2, x_3=0$，取 $\alpha_1=(1,1,0)^T$，单位化 $p_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$。 对于 $\lambda=-3$：解 $(-3I-B)x=0$，得 $x_1=-x_2, x_3=0$，取 $\alpha_2=(1,-1,0)^T$，单位化 $p_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$。 对于 $\lambda=6$：解 $(6I-B)x=0$，得 $x_1=0, x_2=0, x_3$ 自由，取 $\alpha_3=(0,0,1)^T$，单位化 $p_3=(0,0,1)^T$。

正交矩阵 $P = (p_1, p_2, p_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则正交变换 $X=PY$ 将二次型化为标准形 $f = 7y_1^2 - 3y_2^2 + 6y_3^2$。