哈尔滨工程大学 2024年高等代数第11题
📝 题目
11．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{T}_{1}$ 为 $V$ 上的线性变换，求证：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}$ 和 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T}_{1}=\mathscr{T}_{2} \mathscr{T}_{3}$ ，其中 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}^{2}=\mathscr{T}_{2}$ ，且 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ 可逆。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将线性变换转化为矩阵表示
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\mathscr{T}_1$ 是 $V$ 上的线性变换。取 $V$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$，则 $\mathscr{T}_1$ 在该基下的矩阵为 $A$，即 $\mathscr{T}_1(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)A$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵。
提示：注意基的选取是任意的，但必须固定一组基才能将线性变换与矩阵对应。
步骤 2/6
目标：对矩阵A进行秩分解
设 $r = \operatorname{rank}(A)$。由矩阵的秩分解，存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
公式：$A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 都是可逆矩阵，且秩分解不唯一。
步骤 3/6
目标：构造幂等矩阵B和可逆矩阵C
令 $B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}$，$C = P Q$。则 $B$ 是幂等矩阵，因为 $B^2 = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} = B$。$C$ 可逆，因为 $P$ 和 $Q$ 可逆。
公式：$B^2 = B$，$C$ 可逆
提示：验证 $B^2 = B$ 时，注意中间 $P^{-1}P = I$。
步骤 4/6
目标：验证A = BC
计算 $BC = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} \cdot P Q = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = A$。因此 $A = BC$。
公式：$A = BC$
提示：注意矩阵乘法顺序，$P^{-1}P = I$ 是关键。
步骤 5/6
目标：将矩阵分解转化为线性变换分解
定义线性变换 $\mathscr{T}_2$ 和 $\mathscr{T}_3$ 如下：在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下，$\mathscr{T}_2$ 的矩阵为 $B$，$\mathscr{T}_3$ 的矩阵为 $C$。则 $\mathscr{T}_1$ 的矩阵为 $A = BC$，从而 $\mathscr{T}_1 = \mathscr{T}_2 \mathscr{T}_3$。由于 $B^2 = B$，有 $\mathscr{T}_2^2 = \mathscr{T}_2$；由于 $C$ 可逆，$\mathscr{T}_3$ 可逆。
公式：$\mathscr{T}_1 = \mathscr{T}_2 \mathscr{T}_3$，$\mathscr{T}_2^2 = \mathscr{T}_2$，$\mathscr{T}_3$ 可逆
提示：线性变换的复合对应矩阵的乘法，注意顺序一致。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 $V$ 上的线性变换 $\mathscr{T}_2$（幂等）和可逆线性变换 $\mathscr{T}_3$，使得 $\mathscr{T}_1 = \mathscr{T}_2 \mathscr{T}_3$。
提示：幂等变换即投影变换，可逆变换即同构。
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