大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．用正交线性替换化二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{3}$ 为标准形，写出所作正交线性替换以及标准形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2-x_3^2+4x_1x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其对角线元素为平方项系数，非对角线元素为交叉项系数的一半。由于 $x_1x_3$ 系数为4，故 $a_{13}=a_{31}=2$。因此 $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$，其中 $a_{ij}=a_{ji}$。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $4x_1x_3$ 对应 $a_{13}=a_{31}=2$。
步骤 2/7
目标：求特征值
计算特征多项式 $|\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & -2 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ -2 & 0 & \lambda+1 \end{vmatrix}$。按第二行展开得 $(\lambda-3)\begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 \\ -2 & \lambda+1 \end{vmatrix}=(\lambda-3)[(\lambda-2)(\lambda+1)-4]=(\lambda-3)(\lambda^2-\lambda-6)=(\lambda-3)(\lambda-3)(\lambda+2)=(\lambda-3)^2(\lambda+2)=0$。解得特征值 $\lambda_1=\lambda_2=3$，$\lambda_3=-2$。
公式：特征多项式 $|\lambda E-A|=0$
提示：计算行列式时注意展开技巧，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：求特征向量（特征值3）
对于 $\lambda=3$，解 $(3E-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$。得 $x_1-2x_3=0$，即 $x_1=2x_3$，$x_2$ 自由。基础解系：$\xi_1=(0,1,0)^T$，$\xi_2=(2,0,1)^T$。
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda E-A)x=0$
提示：注意自由变量的选取，基础解系要线性无关。
步骤 4/7
目标：正交化与单位化（特征值3）
由于特征值3是二重根，需将两个特征向量正交化。取 $\alpha_1=\xi_1=(0,1,0)^T$。计算 $\alpha_2=\xi_2-\frac{(\xi_2,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1=(2,0,1)^T-0=(2,0,1)^T$。单位化：$\eta_1=\frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|}=(0,1,0)^T$，$\eta_2=\frac{\alpha_2}{\|\alpha_2\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1)^T$。
公式：Schmidt正交化：$\alpha_k=\xi_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\xi_k,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)}\alpha_i$，单位化：$\eta_k=\frac{\alpha_k}{\|\alpha_k\|}$
提示：正交化时注意顺序，通常取简单的向量作为第一个。
步骤 5/7
目标：求特征向量（特征值-2）
对于 $\lambda=-2$，解 $(-2E-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix} -4 & 0 & -2 \\ 0 & -5 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$。得 $x_2=0$，$-4x_1-2x_3=0$ 即 $2x_1+x_3=0$。取 $x_1=1$，则 $x_3=-2$，基础解系 $\xi_3=(1,0,-2)^T$。单位化：$\eta_3=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,-2)^T$。
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda E-A)x=0$
提示：注意特征值-2对应的特征向量与前面正交，无需正交化。
步骤 6/7
目标：构造正交矩阵Q
将单位化后的特征向量按列排成正交矩阵 $Q$：$Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$。则正交线性替换为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$。
公式：正交线性替换 $x=Qy$，其中 $Q$ 为正交矩阵
提示：注意特征向量的顺序与特征值对应，通常按特征值顺序排列。
步骤 7/7
目标：写出标准形
标准形为 $f=3y_1^2+3y_2^2-2y_3^2$，其中系数为特征值，顺序与 $Q$ 中列向量对应。
公式：标准形 $f=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2$
提示：标准形系数与特征值一一对应，注意重根对应的系数相同。
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