大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．当 $a, b$ 为何值时，下面方程有唯一解，无穷多解，无解？
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=3 \\
x_{1}+x_{2}+b x_{3}=2 \\
x_{1}+x_{2}+2 b x_{3}=3
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
将方程组写成矩阵形式 $Ax = b$，其中系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 2b \end{pmatrix}$，常数向量 $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$。增广矩阵为 $(A \mid b) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 3 \\ 1 & 1 & b & 2 \\ 1 & 1 & 2b & 3 \end{pmatrix}$。
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要混淆。
步骤 2/6
目标：初等行变换（消去第一列）
对增广矩阵进行行变换：$R_2 - R_1$ 和 $R_3 - R_1$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 3 \\ 0 & 1-a & b-1 & -1 \\ 0 & 1-a & 2b-1 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：行变换时注意符号，特别是 $R_2 - R_1$ 后第二行第一列变为0。
步骤 3/6
目标：进一步行变换（消去第二列）
执行 $R_3 - R_2$，得到 $\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 3 \\ 0 & 1-a & b-1 & -1 \\ 0 & 0 & b & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意 $R_3 - R_2$ 时，第三行第二列变为 $ (1-a) - (1-a) = 0$，第三列变为 $(2b-1) - (b-1) = b$。
步骤 4/6
目标：讨论 $b \neq 0$ 的情况
当 $b \neq 0$ 时，系数矩阵的秩为3，等于未知数个数，方程组有唯一解。此时无需额外条件，因为第三行给出 $b x_3 = 1$，可解出 $x_3 = 1/b$，再回代即可。
提示：注意 $b \neq 0$ 时，即使 $a=1$，第二行变为 $0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + (b-1)x_3 = -1$，与第三行联立仍可解出唯一解（例如 $b=1/2$ 时）。
步骤 5/6
目标：讨论 $b = 0$ 的情况
当 $b = 0$ 时，增广矩阵变为 $\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 3 \\ 0 & 1-a & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。第三行对应方程 $0 = 1$，矛盾，故方程组无解。无论 $a$ 取何值，均无解。
提示：注意 $b=0$ 时，第三行出现矛盾，不要忽略。即使 $a=1$ 使第二行简化，第三行仍矛盾。
步骤 6/6
目标：总结解的情况
综合讨论：当 $b \neq 0$ 时，方程组有唯一解；当 $b = 0$ 时，方程组无解；不存在无穷多解的情况。
提示：注意本题中不会出现无穷多解，因为系数矩阵的秩要么是3（唯一解），要么是2但增广矩阵秩为3（无解）。
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