大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．已知 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{i i}=a>0(i=1,2, \cdots, n)$ ，且对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，有 $\sum_{j=1}^{n}\left(\left|a_{i j}\right|+\left|a_{j i}\right|\right)<4 a$ ．设二次型 $f=X^{T} A X$ ，其中 $X$ 为实 $n$ 维列向量．
（1）求二次型 $f$ 的矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ ；
（2）证明：$b_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|b_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ；
（3）证明：$f$ 是正定二次型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定二次型的对称矩阵
二次型 $f = X^T A X$ 中，矩阵 $A$ 不一定对称。通常将二次型表示为对称矩阵 $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$，因为 $X^T A X = X^T \left( \frac{A + A^T}{2} \right) X$，且 $\frac{A + A^T}{2}$ 是对称矩阵。因此，$B$ 的元素为 $b_{ij} = \frac{a_{ij} + a_{ji}}{2}$。
公式：B = \frac{1}{2}(A + A^T)
提示：注意二次型的矩阵必须是对称的，否则无法直接利用对称矩阵的性质。
步骤 2/6
目标：计算对角元 $b_{ii}$
由于 $a_{ii} = a > 0$，且 $b_{ii} = \frac{a_{ii} + a_{ii}}{2} = a$，所以 $b_{ii} = a$。
公式：b_{ii} = a
提示：对角元直接由 $a_{ii}$ 得到，注意 $a_{ii}$ 是正数。
步骤 3/6
目标：估计非对角元的绝对值之和
对于 $j \neq i$，有 $|b_{ij}| = \left| \frac{a_{ij} + a_{ji}}{2} \right| \leq \frac{|a_{ij}| + |a_{ji}|}{2}$。因此，
$$
\sum_{j \neq i} |b_{ij}| \leq \sum_{j \neq i} \frac{|a_{ij}| + |a_{ji}|}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j \neq i} (|a_{ij}| + |a_{ji}|).
$$
公式：|b_{ij}| \leq \frac{|a_{ij}| + |a_{ji}|}{2}
提示：使用三角不等式时注意等号成立条件：$a_{ij}$ 和 $a_{ji}$ 同号或至少一个为零。
步骤 4/6
目标：利用已知条件化简不等式
由已知条件 $\sum_{j=1}^n (|a_{ij}| + |a_{ji}|) < 4a$，且 $a_{ii}=a$，得 $2a + \sum_{j \neq i} (|a_{ij}| + |a_{ji}|) < 4a$，即 $\sum_{j \neq i} (|a_{ij}| + |a_{ji}|) < 2a$。代入上一步不等式得 $\sum_{j \neq i} |b_{ij}| < a = b_{ii}$。
公式：\sum_{j \neq i} (|a_{ij}| + |a_{ji}|) < 2a
提示：注意严格不等号，确保最终得到严格不等式。
步骤 5/6
目标：证明 $B$ 严格对角占优
由前两步，$b_{ii} = a$，且 $\sum_{j \neq i} |b_{ij}| < a$，因此 $b_{ii} > \sum_{j \neq i} |b_{ij}|$ 对所有 $i$ 成立，即 $B$ 是严格对角占优矩阵。
公式：b_{ii} > \sum_{j \neq i} |b_{ij}|
提示：严格对角占优的定义：对角元的绝对值大于同行其他元素绝对值之和。
步骤 6/6
目标：利用严格对角占优证明正定性
由于 $B$ 是实对称矩阵，且严格对角占优，所有对角元 $b_{ii}=a>0$，根据定理，这样的矩阵是正定的。因此，二次型 $f = X^T B X$ 是正定二次型。
提示：严格对角占优且对角元为正的对称矩阵是正定矩阵，这是常用结论。
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