大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-1} \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & -a_{2} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{1}
\end{array}\right)
$$
（1）若 $A F=F A$ ，证明：$A=a_{11} E+a_{21} F+a_{31} F^{2}+\cdots+a_{n 1} F^{n-1}$ ；
（2）求子空间 $C(F)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid B F=F B\right\}$ 的维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解矩阵F的结构和性质
矩阵$F$是友矩阵（Frobenius companion matrix），其特征多项式为$f(\lambda)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n$。$F$的极小多项式等于其特征多项式，且$F$是循环矩阵，即存在向量$e_1=(1,0,\ldots,0)^T$使得$\{e_1, Fe_1, \ldots, F^{n-1}e_1\}$线性无关。
公式：f(\lambda)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n
提示：注意F的第一列是(0,1,0,...,0)^T，第二列是(0,0,1,...,0)^T，等等。
步骤 2/6
目标：由交换性推出A是F的多项式
由$AF=FA$可知$A$与$F$可交换。由于$F$的极小多项式次数为$n$，任何与$F$可交换的矩阵都可以表示为$F$的多项式，且次数小于$n$。因此存在多项式$g(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}$使得$A=g(F)=c_0E+c_1F+\cdots+c_{n-1}F^{n-1}$。
公式：A=g(F)=c_0E+c_1F+\cdots+c_{n-1}F^{n-1}
提示：注意多项式次数不超过n-1，因为F的极小多项式次数为n。
步骤 3/6
目标：计算F^k的第一列
计算$F^k$的第一列（$k=0,1,\ldots,n-1$）：
- $F^0=E$的第一列为$(1,0,\ldots,0)^T$。
- $F$的第一列为$(0,1,0,\ldots,0)^T$。
- $F^2$的第一列为$(0,0,1,\ldots,0)^T$。
- 依此类推，$F^{n-1}$的第一列为$(0,\ldots,0,1)^T$。
提示：注意F是下移位矩阵加上最后一列的线性组合，但第一列只受移位影响。
步骤 4/6
目标：比较A的第一列确定系数
由$A=g(F)$，$A$的第一列等于$c_0(1,0,\ldots,0)^T+c_1(0,1,0,\ldots,0)^T+\cdots+c_{n-1}(0,\ldots,0,1)^T=(c_0,c_1,\ldots,c_{n-1})^T$。而$A$的第一列正是$(a_{11},a_{21},\ldots,a_{n1})^T$，因此$c_0=a_{11}, c_1=a_{21}, \ldots, c_{n-1}=a_{n1}$。代入得$A=a_{11}E+a_{21}F+\cdots+a_{n1}F^{n-1}$。
公式：A=a_{11}E+a_{21}F+\cdots+a_{n1}F^{n-1}
提示：注意下标对应：a_{i1}对应F^{i-1}的系数。
步骤 5/6
目标：证明F是循环矩阵
由于$F$的第一列是$e_2$，且$F$的极小多项式次数为$n$，向量$e_1$在$F$作用下的循环空间维数为$n$，即$\{e_1, Fe_1, \ldots, F^{n-1}e_1\}$线性无关。因此$F$是循环矩阵。
提示：循环矩阵的定义：存在向量v使得{v, Fv, ..., F^{n-1}v}是基。
步骤 6/6
目标：利用循环矩阵性质求中心化子维数
对于循环矩阵$F$，其中心化子$C(F)=\{B\in\mathbb{C}^{n\times n}\mid BF=FB\}$恰好等于$F$的多项式环，即所有形如$h(F)$的矩阵，其中$h(x)$是次数小于$n$的多项式。这是因为任何与$F$可交换的矩阵必为$F$的多项式（由循环性）。因此$C(F)$作为线性空间的维数为$n$（基为$E,F,\ldots,F^{n-1}$）。
公式：\dim C(F)=n
提示：注意：如果F不是循环矩阵，维数可能大于n，但这里F是友矩阵，总是循环的。
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