大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．已知 $n$ 维向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 为线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系，$n$ 维向量 $\beta$ 不是 $A X=0$的解．证明：向量组 $\beta, \beta+\alpha_{1}, \cdots, \beta+\alpha_{r}$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定线性组合并整理
设存在一组数 $k_0, k_1, \ldots, k_r$，使得
$$k_0 \beta + k_1 (\beta + \alpha_1) + \cdots + k_r (\beta + \alpha_r) = 0.$$
整理得
$$(k_0 + k_1 + \cdots + k_r) \beta + k_1 \alpha_1 + \cdots + k_r \alpha_r = 0. \tag{1}$$
提示：注意合并同类项时，β的系数是所有k_i之和。
步骤 2/6
目标：左乘矩阵A并利用条件
用矩阵 $A$ 左乘 (1) 式两边。由于 $\alpha_i$ 是 $AX=0$ 的解，有 $A\alpha_i = 0$（$i=1,\ldots,r$），且 $\beta$ 不是解，故 $A\beta \neq 0$。得到
$$(k_0 + k_1 + \cdots + k_r) A\beta = 0.$$
公式：Aα_i=0, Aβ≠0
提示：左乘矩阵时，注意每一项都要乘，且利用已知条件简化。
步骤 3/6
目标：推导系数和为零
因为 $A\beta \neq 0$，所以系数必须为零：
$$k_0 + k_1 + \cdots + k_r = 0. \tag{2}$$
提示：非零向量乘以非零系数得零，则系数必为零。
步骤 4/6
目标：代入化简得到α的线性组合
将 (2) 式代入 (1) 式，得
$$k_1 \alpha_1 + \cdots + k_r \alpha_r = 0.$$
提示：代入后β项消失，只剩α的线性组合。
步骤 5/6
目标：利用基础解系的线性无关性
因为 $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ 是基础解系，所以线性无关，故
$$k_1 = \cdots = k_r = 0.$$
提示：基础解系中的向量线性无关，这是定义。
步骤 6/6
目标：得出所有系数为零
由 (2) 式 $k_0 + k_1 + \cdots + k_r = 0$ 及 $k_1 = \cdots = k_r = 0$，得 $k_0 = 0$。因此所有系数均为零，向量组线性无关。
提示：不要忘记k0也需要确定为零。
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