大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，$p^{2} \mid(a+1)$ ，证明：多项式 $f(x)=a x^{p}+p x+1$ 没有有理根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：假设存在有理根并代入方程
假设 $f(x)$ 有有理根 $\frac{u}{v}$，其中 $u,v$ 互素，$v>0$。代入得 $a\left(\frac{u}{v}\right)^p + p\left(\frac{u}{v}\right) + 1 = 0$，两边乘以 $v^p$ 得 $a u^p + p u v^{p-1} + v^p = 0$，即 $a u^p + v^p = -p u v^{p-1}$。
公式：a u^p + p u v^{p-1} + v^p = 0
提示：注意 $u,v$ 互素且 $v>0$，这是有理根的标准假设。
步骤 2/7
目标：利用条件 $p^2 \mid (a+1)$ 替换 $a$
由 $p^2 \mid (a+1)$，设 $a = k p^2 - 1$，其中 $k$ 为整数。代入得 $(k p^2 - 1) u^p + v^p = -p u v^{p-1}$，即 $k p^2 u^p - u^p + v^p = -p u v^{p-1}$，整理得 $v^p - u^p = -p u v^{p-1} - k p^2 u^p$。
公式：v^p - u^p = -p u v^{p-1} - k p^2 u^p
提示：注意 $a+1$ 被 $p^2$ 整除，所以 $a = kp^2 - 1$。
步骤 3/7
目标：模 $p$ 分析得到 $p \mid (v-u)$
考虑模 $p$：左边 $v^p - u^p \equiv v - u \pmod{p}$（费马小定理），右边 $-p u v^{p-1} - k p^2 u^p \equiv 0 \pmod{p}$，所以 $v \equiv u \pmod{p}$，即 $p \mid (v-u)$。
公式：v^p \equiv v \pmod{p}, \quad u^p \equiv u \pmod{p}
提示：费马小定理要求 $p$ 是素数，且 $u,v$ 是整数。
步骤 4/7
目标：设 $v = u + pt$ 并代入原方程
设 $v = u + p t$，$t$ 为整数。代入原方程 $a u^p + p u v^{p-1} + v^p = 0$，并利用 $a = k p^2 - 1$ 得 $(k p^2 - 1) u^p + p u (u+pt)^{p-1} + (u+pt)^p = 0$。
提示：注意 $v = u + pt$ 来自 $p \mid (v-u)$。
步骤 5/7
目标：展开二项式并提取 $p^2$ 因子
展开 $(u+pt)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} u^{p-i} (pt)^i = u^p + p^2 u^{p-1} t + \cdots + p^p t^p$，其中除第一项外，其余各项均含因子 $p^2$。类似地，$(u+pt)^{p-1} = u^{p-1} + (p-1) u^{p-2} p t + \cdots$，乘以 $p u$ 得 $p u^p + p^2 u^{p-1} (p-1) t + \cdots$，即 $p u^p$ 加上 $p^2$ 的倍数。因此，原方程化为：$(k p^2 - 1) u^p + [p u^p + p^2 M] + [u^p + p^2 N] = 0$，其中 $M,N$ 为整数。
公式：(u+pt)^p = u^p + p^2 \cdot (\text{整数})
提示：注意二项式展开中 $i=1$ 项为 $p \cdot u^{p-1} \cdot pt = p^2 u^{p-1} t$，确实含有 $p^2$。
步骤 6/7
目标：合并同类项并除以 $p$
合并得：$(k p^2 - 1 + p + 1) u^p + p^2 (M+N) = 0$，即 $(k p^2 + p) u^p + p^2 (M+N) = 0$，即 $p (k p + 1) u^p + p^2 (M+N) = 0$。两边除以 $p$ 得 $(k p + 1) u^p + p (M+N) = 0$，所以 $(k p + 1) u^p = -p (M+N)$。
公式：(k p + 1) u^p = -p (M+N)
提示：注意 $k p^2 - 1 + p + 1 = k p^2 + p$，不要漏项。
步骤 7/7
目标：导出矛盾
由于 $p$ 是素数，$p \nmid (k p + 1)$，因此 $p \mid u^p$，从而 $p \mid u$。但 $p \mid (v-u)$ 且 $p \mid u$，则 $p \mid v$，与 $u,v$ 互素矛盾。故假设不成立，$f(x)$ 没有有理根。
提示：注意 $p \mid u^p$ 推出 $p \mid u$ 是因为 $p$ 是素数。
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