大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda_{n}$ 是 $A$ 最大的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{n}=\max _{0 \neq X \in \mathbb{R}^{n}} \frac{X^{T} A X}{X^{T} X}, \mathbb{R}^{n}$ 为实 $n$ 维列向量的集合．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \dots \leq \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：确保 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T Q = I$。
步骤 2/8
目标：变量替换
对于任意非零向量 $X \in \mathbb{R}^n$，令 $Y = Q^T X$，则 $Y = (y_1, y_2, \dots, y_n)^T$ 且 $X = QY$。
公式：Y = Q^T X, X = QY
提示：注意 $Y$ 也是非零向量，因为 $Q$ 可逆。
步骤 3/8
目标：化简二次型
计算 $X^T A X$：$X^T A X = (QY)^T A (QY) = Y^T Q^T A Q Y = Y^T \Lambda Y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$。
公式：X^T A X = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2
提示：注意矩阵乘法的结合律和正交性。
步骤 4/8
目标：化简分母
计算 $X^T X$：$X^T X = (QY)^T (QY) = Y^T Q^T Q Y = Y^T Y = \sum_{i=1}^n y_i^2$。
公式：X^T X = \sum_{i=1}^n y_i^2
提示：利用 $Q^T Q = I$。
步骤 5/8
目标：得到瑞利商表达式
因此 $\frac{X^T A X}{X^T X} = \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2}{\sum_{i=1}^n y_i^2}$。
公式：\frac{X^T A X}{X^T X} = \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2}{\sum_{i=1}^n y_i^2}
提示：注意 $y_i$ 不全为零。
步骤 6/8
目标：利用特征值排序得到上界
由于 $\lambda_i \leq \lambda_n$ 对所有 $i$ 成立，有 $\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \leq \lambda_n \sum_{i=1}^n y_i^2$，所以 $\frac{X^T A X}{X^T X} \leq \lambda_n$。
公式：\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \leq \lambda_n \sum_{i=1}^n y_i^2
提示：注意不等号方向，因为 $\lambda_n$ 是最大特征值。
步骤 7/8
目标：等号成立条件
等号成立当且仅当 $y_1 = y_2 = \dots = y_{n-1} = 0$ 且 $y_n \neq 0$，即 $Y$ 是 $\lambda_n$ 对应的特征向量。此时 $X = QY$ 也是 $\lambda_n$ 对应的特征向量。
提示：注意 $Y$ 非零，且 $y_n$ 不能为零。
步骤 8/8
目标：结论
因此 $\max_{0 \neq X \in \mathbb{R}^n} \frac{X^T A X}{X^T X} = \lambda_n$。
公式：\lambda_n = \max_{0 \neq X \in \mathbb{R}^n} \frac{X^T A X}{X^T X}
提示：最大值在特征向量处取到。
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