大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，用 $\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 和 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 分别表示 $\mathscr{A}$ 的值域和核，证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A} \subset \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 的充要条件是 $\mathscr{A}^{2}$ 等于零变换。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确题目条件和待证结论
已知 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 和 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 分别表示值域和核。需要证明：$\operatorname{Im} \mathscr{A} \subset \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 当且仅当 $\mathscr{A}^2 = 0$（零变换）。
提示：注意区分值域和核的定义：$\operatorname{Im} \mathscr{A} = \{\mathscr{A}(\alpha) \mid \alpha \in V\}$，$\operatorname{Ker} \mathscr{A} = \{\alpha \in V \mid \mathscr{A}(\alpha)=0\}$。
步骤 2/4
目标：证明必要性：由包含关系推出平方为零
假设 $\operatorname{Im} \mathscr{A} \subset \operatorname{Ker} \mathscr{A}$。对任意 $\alpha \in V$，令 $\beta = \mathscr{A}(\alpha)$，则 $\beta \in \operatorname{Im} \mathscr{A}$。由包含关系，$\beta \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}$，即 $\mathscr{A}(\beta)=0$。于是 $\mathscr{A}^2(\alpha)=\mathscr{A}(\mathscr{A}(\alpha))=\mathscr{A}(\beta)=0$。由 $\alpha$ 的任意性，$\mathscr{A}^2=0$。
公式：$\mathscr{A}^2(\alpha)=\mathscr{A}(\mathscr{A}(\alpha))=0$
提示：注意：$\mathscr{A}^2$ 表示复合变换，即先作用 $\mathscr{A}$ 再作用一次。
步骤 3/4
目标：证明充分性：由平方为零推出包含关系
假设 $\mathscr{A}^2=0$。对任意 $\beta \in \operatorname{Im} \mathscr{A}$，存在 $\alpha \in V$ 使得 $\beta = \mathscr{A}(\alpha)$。则 $\mathscr{A}(\beta)=\mathscr{A}(\mathscr{A}(\alpha))=\mathscr{A}^2(\alpha)=0$，故 $\beta \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}$。由 $\beta$ 的任意性，$\operatorname{Im} \mathscr{A} \subset \operatorname{Ker} \mathscr{A}$。
公式：$\mathscr{A}(\beta)=\mathscr{A}^2(\alpha)=0$
提示：注意：充分性中需要从值域中任取元素，并利用平方为零推出它属于核。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合必要性和充分性，$\operatorname{Im} \mathscr{A} \subset \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 的充要条件是 $\mathscr{A}^2=0$。
提示：充要条件证明需分两步，缺一不可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。