大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是数域 $P$ 上的 $(n-m) \times n$ 矩阵。令 $V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}$ ， $V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\}$ ．已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $(n-m) \times n$ 矩阵，$C = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ 是 $n \times n$ 可逆矩阵。定义 $V_1 = \{ X \in P^n \mid AX = 0 \}$，$V_2 = \{ X \in P^n \mid BX = 0 \}$。需要证明 $P^n = V_1 \oplus V_2$，即直和分解。
提示：注意矩阵 $C$ 的行数为 $n$，列数为 $n$，且可逆，因此 $C$ 是 $n$ 阶方阵。
步骤 2/7
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
取 $X \in V_1 \cap V_2$，则 $AX = 0$ 且 $BX = 0$，所以 $CX = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} AX \\ BX \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。由于 $C$ 可逆，线性方程组 $CX = 0$ 只有零解，故 $X = 0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$CX = 0 \Rightarrow X = 0$
提示：可逆矩阵对应的齐次线性方程组只有零解，这是关键。
步骤 3/7
目标：证明 $P^n = V_1 + V_2$（思路）
对任意 $X \in P^n$，需要找到 $X_1 \in V_1$ 和 $X_2 \in V_2$ 使得 $X = X_1 + X_2$。考虑利用 $C$ 的可逆性构造 $X_2$，使得 $BX_2 = 0$ 且 $AX_2 = AX$，从而 $X_1 = X - X_2$ 满足 $AX_1 = 0$。
提示：关键想法：利用 $C$ 可逆，可以解出某个向量 $Y$ 使得 $CY = \begin{pmatrix} AX \\ 0 \end{pmatrix}$。
步骤 4/7
目标：构造 $Y$ 满足 $CY = \begin{pmatrix} AX \\ 0 \end{pmatrix}$
由于 $C$ 可逆，对任意 $n$ 维列向量 $\begin{pmatrix} AX \\ 0 \end{pmatrix}$，存在唯一的 $Y \in P^n$ 使得 $CY = \begin{pmatrix} AX \\ 0 \end{pmatrix}$。即 $\begin{pmatrix} AY \\ BY \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AX \\ 0 \end{pmatrix}$，因此 $AY = AX$ 且 $BY = 0$。
公式：$CY = \begin{pmatrix} AX \\ 0 \end{pmatrix}$
提示：注意 $AX$ 是 $m$ 维列向量，$0$ 是 $n-m$ 维零向量，因此右端是 $n$ 维列向量。
步骤 5/7
目标：定义 $X_2 = Y$ 和 $X_1 = X - Y$
令 $X_2 = Y$，则 $BX_2 = BY = 0$，故 $X_2 \in V_2$。令 $X_1 = X - Y$，则 $AX_1 = A(X - Y) = AX - AY = AX - AX = 0$，故 $X_1 \in V_1$。且 $X = X_1 + X_2$。
提示：验证 $X_1$ 和 $X_2$ 分别属于 $V_1$ 和 $V_2$。
步骤 6/7
目标：得出 $P^n = V_1 + V_2$
由上述构造，对任意 $X \in P^n$，存在 $X_1 \in V_1$ 和 $X_2 \in V_2$ 使得 $X = X_1 + X_2$，因此 $P^n \subseteq V_1 + V_2$。显然 $V_1 + V_2 \subseteq P^n$，故 $P^n = V_1 + V_2$。
提示：注意子空间的和仍是子空间，且包含关系显然。
步骤 7/7
目标：综合结论
已证 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 且 $P^n = V_1 + V_2$，根据直和的定义，$P^n = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。