大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的 $\mathscr{A}-$ 子空间，已知 $\mathscr{A}$ 有 $k$ 个互异的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ ，相应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{k}$ ，证明：若 $\xi_{1}+\xi_{2}+\cdots+\xi_{k} \in W$ ，则 $\operatorname{dim} W \geq k$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：已知条件与目标
设 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 是 $\mathscr{A}$ 的分别属于互异特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ 的特征向量。已知 $\xi_1 + \xi_2 + \cdots + \xi_k \in W$，且 $W$ 是 $\mathscr{A}$-子空间，即 $\mathscr{A}(W) \subseteq W$。要证明 $\dim W \geq k$。
提示：注意 $W$ 是 $\mathscr{A}$-子空间，即对 $\mathscr{A}$ 作用封闭。
步骤 2/7
目标：特征向量线性无关
由于特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ 互异，对应的特征向量 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 线性无关。这是线性代数中的基本结论。
提示：互异特征值对应的特征向量线性无关，这是常用性质。
步骤 3/7
目标：对和向量反复应用线性变换
对 $\xi_1 + \xi_2 + \cdots + \xi_k$ 反复应用 $\mathscr{A}$，得到：
$$\mathscr{A}^m(\xi_1 + \cdots + \xi_k) = \lambda_1^m \xi_1 + \cdots + \lambda_k^m \xi_k \in W, \quad m = 0,1,\dots, k-1.$$
因为 $W$ 是 $\mathscr{A}$-子空间，所以这些向量都属于 $W$。
公式：$\mathscr{A}^m(\xi) = \lambda^m \xi$ 对特征向量成立。
提示：注意 $m=0$ 时就是原向量本身。
步骤 4/7
目标：构造矩阵方程
将上述 $k$ 个向量写成矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_k \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1^{k-1} & \lambda_2^{k-1} & \cdots & \lambda_k^{k-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_k
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\xi_1 + \cdots + \xi_k \\
\lambda_1 \xi_1 + \cdots + \lambda_k \xi_k \\
\vdots \\
\lambda_1^{k-1} \xi_1 + \cdots + \lambda_k^{k-1} \xi_k
\end{pmatrix}.
$$
左边系数矩阵是范德蒙矩阵。
公式：范德蒙矩阵 $V_{ij} = \lambda_j^{i-1}$。
提示：注意矩阵乘法中，$
\xi_i$ 是向量，所以右边是向量组成的列向量。
步骤 5/7
目标：范德蒙矩阵可逆
由于 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ 互异，范德蒙矩阵的行列式非零，因此该矩阵可逆。从而我们可以左乘其逆矩阵，将 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 表示为右边 $k$ 个向量的线性组合。
公式：$\det(V) = \prod_{1 \leq i < j \leq k} (\lambda_j - \lambda_i) \neq 0$。
提示：范德蒙矩阵可逆当且仅当 $\lambda_i$ 互异。
步骤 6/7
目标：特征向量属于子空间
由于右边 $k$ 个向量都属于 $W$，而 $W$ 是子空间，所以它们的线性组合也属于 $W$。因此，$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 都可以表示为这些向量的线性组合，从而 $\xi_1, \dots, \xi_k \in W$。
提示：子空间对线性组合封闭。
步骤 7/7
目标：得出维数结论
因为 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k$ 线性无关且都属于 $W$，所以它们是 $W$ 中 $k$ 个线性无关的向量。因此，$W$ 的维数至少为 $k$，即 $\dim W \geq k$。
提示：线性无关向量个数不超过空间维数。
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