大连理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，若 $\mathscr{A}$ 不改变向量的距离，即 $|\mathscr{A} \alpha-\mathscr{A} \beta|=|\alpha-\beta|$ 对任意的 $\alpha, \beta \in V$ 成立。证明： $\mathscr{A}$ 是正交变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用距离不变性导出长度不变
由已知条件，对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $|\mathscr{A}\alpha - \mathscr{A}\beta| = |\alpha - \beta|$。取 $\beta = 0$，则 $|\mathscr{A}\alpha - \mathscr{A}0| = |\alpha - 0|$。由于 $\mathscr{A}$ 是线性变换，$\mathscr{A}0 = 0$，因此 $|\mathscr{A}\alpha| = |\alpha|$，即 $\mathscr{A}$ 保持向量长度。
公式：|\mathscr{A}\alpha| = |\alpha|
提示：注意线性变换将零向量映为零向量，这是线性性的基本性质。
步骤 2/4
目标：展开距离平方并代入长度不变
对任意 $\alpha, \beta \in V$，将距离平方展开：$|\mathscr{A}\alpha - \mathscr{A}\beta|^2 = |\mathscr{A}\alpha|^2 + |\mathscr{A}\beta|^2 - 2\langle \mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta \rangle$，同理 $|\alpha - \beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2 - 2\langle \alpha, \beta \rangle$。由距离不变性，两式相等。代入第一步得到的 $|\mathscr{A}\alpha| = |\alpha|$ 和 $|\mathscr{A}\beta| = |\beta|$，消去相同项，得到 $\langle \mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta \rangle = \langle \alpha, \beta \rangle$。
公式：\langle \mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta \rangle = \langle \alpha, \beta \rangle
提示：展开时注意内积的对称性和线性性，消去项时要小心符号。
步骤 3/4
目标：验证线性性（题目已给）
题目已假设 $\mathscr{A}$ 是线性变换，因此无需额外证明。正交变换的定义要求线性且保持内积，故只需确认线性性成立。
提示：注意区分题目条件：$\mathscr{A}$ 是线性变换，这是已知的，不要重复证明。
步骤 4/4
目标：得出正交变换的结论
由第二步得到 $\mathscr{A}$ 保持内积，且 $\mathscr{A}$ 是线性变换，根据正交变换的定义，$\mathscr{A}$ 是正交变换。
提示：正交变换的等价定义包括：保持内积、保持长度、保持距离等，本题从距离不变推出内积不变，从而得证。
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