大连理工大学 2023年高等代数第0题

假设存在矩阵 $X \in \mathbb{C}^{3\times 3}$ 使得 $X^2 = A$。由于 $A$ 是严格上三角矩阵，其主对角线元素全为0，因此 $A$ 的特征值全为0。设 $\lambda$ 是 $X$ 的特征值，则 $\lambda^2$ 是 $A$ 的特征值，故 $\lambda^2 = 0$，从而 $\lambda = 0$。所以 $X$ 的特征值全为0，即 $X$ 是幂零矩阵。

由于 $X$ 是3阶幂零矩阵，其Jordan标准形由Jordan块组成，且Jordan块对应特征值0。可能的Jordan块有：1阶零块、2阶零块、3阶零块。因此 $X$ 的Jordan标准形 $J$ 可能为： 1. $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（三个1阶块） 2. $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（一个2阶块和一个1阶块） 3. $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（一个3阶块）

若 $X$ 的Jordan标准形为对角矩阵 $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $X$ 可对角化。但幂零矩阵可对角化当且仅当 $X=0$。此时 $X^2=0 \neq A$，矛盾。

若 $X$ 的Jordan标准形为 $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则计算 $J^2$： $$J^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 即 $X^2$ 是零矩阵，但 $A \neq 0$，矛盾。

若 $X$ 的Jordan标准形为 $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则计算 $J^2$： $$J^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $J^2$ 的秩为1，而 $A$ 的秩为2（因为 $A$ 的左上角2阶子式 $\begin{vmatrix} 0 & 12 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=0$，但 $A$ 的 $(1,2)$ 和 $(2,3)$ 元素非零，实际上 $A$ 的秩为2，因为第1行和第2行线性无关）。因此 $X^2$ 与 $A$ 不相似，矛盾。

所有可能情况均导致矛盾，因此假设不成立，即不存在矩阵 $X \in \mathbb{C}^{3\times 3}$ 使得 $X^2 = A$。故矩阵方程 $X^2 = A$ 无解。