大连理工大学 2025年高等代数第0题

设行列式为 $D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & n+1 \end{vmatrix}$。注意到主对角线上元素为 $i+1$（$i=1,\ldots,n$），其余元素均为1。

将第 $2,3,\ldots,n$ 行分别减去第1行，得到： $$D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & n \end{vmatrix}.$$ 此时，除第1行外，第 $i$ 行（$i\ge2$）的第1列为 $-1$，第 $i$ 列为 $i$，其余为0。

将第 $2,3,\ldots,n$ 列分别乘以 $\frac{1}{i}$ 加到第1列，即 $C_1 \leftarrow C_1 + \sum_{i=2}^n \frac{1}{i} C_i$。变换后，第1列的元素变为： - 第1行：$2 + \sum_{i=2}^n \frac{1}{i} \cdot 1 = 2 + \sum_{i=2}^n \frac{1}{i}$ - 第 $j$ 行（$j\ge2$）：$-1 + \frac{1}{j} \cdot j = -1 + 1 = 0$ 因此行列式化为上三角形式： $$D_n = \begin{vmatrix} 2+\sum_{i=2}^n \frac{1}{i} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \end{vmatrix}.$$

上三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。主对角线上元素为：第1行第1列 $2+\sum_{i=2}^n \frac{1}{i}$，第2行第2列 $2$，第3行第3列 $3$，……，第 $n$ 行第 $n$ 列 $n$。因此 $$D_n = \left(2+\sum_{i=2}^n \frac{1}{i}\right) \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = \left(2+\sum_{i=2}^n \frac{1}{i}\right) \cdot n!.$$

将 $2+\sum_{i=2}^n \frac{1}{i}$ 改写为 $1+\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$，因为 $2 = 1+1$，且 $\sum_{i=2}^n \frac{1}{i} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - 1$。所以 $$D_n = n! \left(1+\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right).$$

验证 $n=1$：行列式为 $|2|=2$，公式给出 $1!\cdot(1+1)=2$，正确。 验证 $n=2$：行列式为 $\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=5$，公式给出 $2!\cdot(1+1+1/2)=2\times2.5=5$，正确。