大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2．非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
k x_{1}+x_{2}+x_{3}=k \\
x_{1}+k x_{2}+x_{3}=1 \\
x_{1}+x_{2}+k x_{3}=k
\end{array}\right.
$$
何时有唯一解，有无穷多解，无解？并在有无穷多解时求通解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
系数矩阵 $A=\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$，增广矩阵 $\bar{A}=\begin{pmatrix} k & 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & k \end{pmatrix}$。
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要写错位置。
步骤 2/6
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 $|A|=\begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$。将第2、3行加到第1行，得 $\begin{vmatrix} k+2 & k+2 & k+2 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}=(k+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$。再第2、3列减去第1列，得 $(k+2)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & k-1 & 0 \\ 1 & 0 & k-1 \end{vmatrix}=(k+2)(k-1)^2$。
公式：$|A|=(k+2)(k-1)^2$
提示：行列式计算时注意提取公因子，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：讨论唯一解的情况
当 $|A|\neq 0$，即 $k\neq 1$ 且 $k\neq -2$ 时，根据克莱姆法则，方程组有唯一解。
提示：注意 $|A|=0$ 时可能无解或无穷多解，需要进一步讨论。
步骤 4/6
目标：讨论 $k=1$ 的情况
当 $k=1$ 时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\bar{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。显然 $r(A)=r(\bar{A})=1<3$，方程组有无穷多解。方程组化为 $x_1+x_2+x_3=1$。取 $x_2,x_3$ 为自由变量，令 $x_2=c_1$，$x_3=c_2$，则 $x_1=1-c_1-c_2$。通解为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，$c_1,c_2\in\mathbb{R}$。
提示：自由变量的选取不唯一，但通解形式等价。注意特解和基础解系的正确性。
步骤 5/6
目标：讨论 $k=-2$ 的情况
当 $k=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，$\bar{A}=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$。对增广矩阵进行初等行变换：
$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1, r_3+2r_1}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 & -6 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$。
可见 $r(A)=2$，$r(\bar{A})=3$，故方程组无解。
提示：初等行变换要仔细，避免计算错误。注意最后一行出现矛盾 $0=-3$。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上所述：
- 当 $k\neq 1$ 且 $k\neq -2$ 时，方程组有唯一解；
- 当 $k=1$ 时，方程组有无穷多解，通解为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，$c_1,c_2\in\mathbb{R}$；
- 当 $k=-2$ 时，方程组无解。
提示：注意区分唯一解、无穷多解和无解的条件。
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