大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $f(x, y, z)=x^{2}+t y^{2}+z^{2}+2 x y-2 t x z-2 y z$ 的正负惯性指数都为 1 ，求 $t$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x, y, z)=x^{2}+t y^{2}+z^{2}+2 x y-2 t x z-2 y z$ 对应的矩阵 $A$ 满足 $f(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$。根据二次型各项系数，得到 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -t \\ 1 & t & -1 \\ -t & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵的构造规则：$x_i x_j$ 项系数的一半作为 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$，$x_i^2$ 项系数作为 $a_{ii}$。
提示：注意交叉项系数要除以2，但本题中交叉项系数已为2，所以直接填入1。
步骤 2/6
目标：根据正负惯性指数条件确定矩阵特征
正负惯性指数都为1，说明二次型的秩为2（因为正负惯性指数之和为秩），且符号差为0（正负惯性指数之差）。因此矩阵 $A$ 有一个正特征值、一个负特征值、一个零特征值，从而 $\det(A)=0$。
公式：惯性指数与特征值的关系：正惯性指数对应正特征值个数，负惯性指数对应负特征值个数，零特征值个数为 $n-\text{秩}$。
提示：注意：正负惯性指数都为1，意味着秩为2，符号差为0，所以行列式必为0。
步骤 3/6
目标：计算行列式并令其为零
计算 $\det(A)$：
\[
\det(A) = 1\cdot\begin{vmatrix} t & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -t & 1 \end{vmatrix} + (-t)\cdot\begin{vmatrix} 1 & t \\ -t & -1 \end{vmatrix}
= (t-1) - (1-t) + (-t)(-1+t^2)
= (t-1) - (1-t) - t(t^2-1)
= (t-1)+(t-1)-t(t-1)(t+1)
= 2(t-1)-t(t-1)(t+1)
= (t-1)(2-t(t+1))
= (t-1)(2-t^2-t)
= -(t-1)(t^2+t-2)
= -(t-1)(t-1)(t+2)
= -(t-1)^2(t+2).
\]
令 $\det(A)=0$，得 $t=1$ 或 $t=-2$。
公式：三阶行列式展开公式：$\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}$，其中 $C_{ij}$ 是代数余子式。
提示：计算行列式时注意符号，特别是代数余子式的符号 $(-1)^{i+j}$。
步骤 4/6
目标：检验 $t=1$ 是否满足条件
当 $t=1$ 时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。矩阵的秩为1（所有行成比例），因此正惯性指数为1，负惯性指数为0，不满足正负惯性指数都为1。
提示：注意：秩为1时，非零特征值只有一个，且由于矩阵是半正定（迹为3>0），所以正惯性指数为1，负惯性指数为0。
步骤 5/6
目标：检验 $t=-2$ 是否满足条件
当 $t=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。计算顺序主子式：一阶 $1>0$；二阶 $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 < 0$；三阶 $\det(A)=0$。根据惯性定理，顺序主子式一正一负且三阶为零，说明矩阵有一个正特征值、一个负特征值、一个零特征值，因此正负惯性指数均为1。
公式：顺序主子式与惯性指数的关系：对于实对称矩阵，若顺序主子式一正一负且后续为零，则正负惯性指数均为1。
提示：注意：顺序主子式符号变化次数不一定直接给出惯性指数，但结合行列式为零，可判断特征值符号。
步骤 6/6
目标：得出结论
综合检验，$t=1$ 不满足条件，$t=-2$ 满足条件，因此 $t$ 的值为 $-2$。
提示：最终答案需明确写出。
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