大连理工大学 2025年高等代数第0题

由已知条件 $AB = A - B$，移项得 $AB + B = A$，即 $(A+E)B = A$。两边同时加 $E$ 得 $(A+E)B + E = A+E$，即 $(A+E)B - (A+E) = -E$，所以 $(A+E)(B-E) = -E$，即 $(A+E)(E-B) = E$。因此 $E+A$ 可逆，且 $(E+A)^{-1} = E-B$。

由(1)知 $(E+A)(E-B)=E$，所以 $E-B = (E+A)^{-1}$。于是 $(E-B)(E+A)=E$，展开得 $E + A - B - BA = E$，即 $A - B - BA = 0$，所以 $A - B = BA$。又已知 $AB = A - B$，因此 $AB = BA$。

由 $AB = A - B$ 得 $A = AB + B = B(A+E)$。由(1)知 $A+E$ 可逆，所以 $A$ 可由 $B$ 右乘可逆矩阵得到，因此 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。

给定 $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，则 $E+A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。

设 $M = E+A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，计算行列式 $\det(M) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 3) = -6$。计算伴随矩阵：余子式 $M_{11}=0$, $M_{12}=0$, $M_{13}=-6$, $M_{21}=0$, $M_{22}=-3$, $M_{23}=0$, $M_{31}=-2$, $M_{32}=0$, $M_{33}=0$。伴随矩阵 $M^* = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -6 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。所以 $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} M^* = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -6 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。

由(1)知 $B = E - (E+A)^{-1}$，代入得 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。